Berechnung einer Fläche mit Nullstelle im Intervall

Berechnung von Flächen bei Funktionen mit mit Nullstellen

Bei der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen kommt es häufig vor, dass es Nullstellen im angegebenen Intervall gibt.
Wenn wir die ignorieren, berechnen wir nicht die Fläche, wie meist in der Aufgabe beschrieben, sondern die Flächenbilanz - also die Frage, ob mehr von der Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse rumlümmelt.
Die Nullstelle müssen wir mit den geeigneten Formeln (z.B. pq-Formel) berechnen und dann das Intervall schachteln.
Hinweis zum zweiten Beispiel: da kommt in dem ersten Teil tatsächlich 0,55 raus in dem zweiten Teil habe ich mich vertippt - da kommt 4/3+0,55=1,88 raus und damit ist das Gesamtergebnis: 2.43790886094 (für alle, die gerundete Ergebnisse nur nach der 10. Stelle vertragen)


Link: sevenload.com

Intervallschachtelung

Die Intervallschachtelung geht so: Erst ein Integral von der Funktion berechnen von der unteren Grenze bis zur ersten Nullstelle.
Dann ein Integral mit den Grenzen “erste Nullstelle” und oberer Grenze.
Bei zwei und mehr Nullstellen natürlich immer bis zur nächsten Nullstelle und so weiter.

Video

Das Video behandelt folgende Inhalte / hat folgendes zum Inhalt:
- Doppelfolge - zwei Versionen von Nullstellen im Intervall
- Bestimme den Inhalt der abgebildeten Fläche
- Immer checken, dass im angegebenen Intervall keine Nullstelle auftaucht
- Intervallschachtelung
- Nullstellenberechnung
- Betragsstriche

Solltest Du Fehler in diesem Video finden, schreib mir bitte einen Kommentar oder eine E-Mail, damit ich den Fehler schnellstmöglich korrigieren kann.

Es kann ja auch sein, dass Du keinen Fahler gefunden hast, aber meine Erklärung war für Dich nicht zu 100% nachvollziehbar: Dann meld Dich bitte bei mir und sag, was Du nicht verstehen konntest. Dann setz ich mich hin und erklär’ es Dir.

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Bestimmtes Integral Fläche unter Kurven

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29 Kommentare zu “Berechnung einer Fläche mit Nullstelle im Intervall”

  1. Olaf on Februar 21st, 2010 13:38

    Hi Johann,
    kann es sein, dass die Aufgabe noch mehr Wörter enthält? Ansonsten sieht sie mir aus wie das zweite Beispiel in den Video oben. Die Parabel hat 2 Nullstellen, die Du mit der PQ-Formel berechnen kannst (Ergebnisse: x=-1 und x=3) und also befindet sich eine Nullstelle (namlich x=3) in Deinem Intervall.
    Weil das eine nach oben geöffnete Parabel ist, liegt der Teil von 0 bis 3 unter der x-Achse und der Rest (von 3 bis 4) über der x-Achse…
    Kommst Du damit weiter?
    LG
    OLaf

  2. Olaf on Februar 21st, 2010 11:10

    Hi René,
    die Skizze in dem Video gehört zu x²+2x+1 - hast Du genau richtig gesehen und die Berechnung dreht sich um x²+2x+2
    Wenn Du die Ableitung =0 setzt bekommst Du die Extremstelle raus - das heißt, beide Funktionen haben ihr Minimum bei x=1 - aber nur x²+2x+1 hätte dort eine Nullstelle, wie auch Deine Funktion in dem pdf…
    x²+2x+2 hat keine Nullstelle.
    Hoffe, das beantwortet Deine Frage und die Verwirrung legt sich wieder?
    LG
    OLaf

  3. Johan on Februar 20th, 2010 17:07

    Leute habe Probleme mit folgender Aufgabe:

    Nach der Integration den prinzipiellen Kurvenverlauf und die Lage der berechneten Teilflächen!

    f(x)= x^2-2x-3 zwischen x=0 und x=4

    Ich komm wirklich nicht klar mit dieser Aufgabe :(

  4. rene on Februar 19th, 2010 01:34

    Ich habe zu dem Kommentar noch ein Pdf hochgeladen:

    http://www.scribd.com/doc/27086164

  5. Rene on Februar 18th, 2010 22:05

    Hallo OLaf,

    ich verstehe etwas überhaupt nicht:

    Im ersten Teil des Videos ist eine Zkizze der Parabel.

    Bei dieser Skizze befindet sich der Scheitelpunkt bei (1|0).

    Die Funktion lautet:

    f(x)= x^2-2x+2

    Wenn ich aber diese Funktion zeichne ist das nicht identisch mit der Skizze denn dann befindet sich der Scheitelpunkt bei (1|1). ???

    Ich habe die Ableitung gebildet:

    f’(x)= 2x-2

    Die Nullstelle ermittelt:

    0=2x-2 |+2
    2=2x |:2

    X=1

    Das heist doch das bei X=1 eine Nullstelle sein muss aber so wie ich es gezeichnet habe ist dort doch gar keine Nullstelle?

    Jetzt verstehe ich echt grade nichts mehr :S

    Die restliche Rechnung mit F(x) habe ich aber richtig…

  6. Olaf on Januar 19th, 2010 10:56

    Hi Tim,
    dazu wollte ich noch kurz sagen, dass ich stark darüber nachdenke (und somit kann man auch sagen, mit Hochdruck daran arbeite), dass OberPrima.com umprogrammiert wird, so dass man sich hier auch gegenseitig helfen können wird - dazu hier ein paar Gedanken von mir: http://www.olafhinrichsen.oberprima.com/2010/01/12/neues-level-2010/
    LG
    OLaf

  7. Olaf on Januar 18th, 2010 18:00

    Hi Tim,
    leider bin ich erst jetzt dazu gekommen, Deinen Kommentar zu beantworten und nun komme ich tatsächlich nicht dahinter, wie die Aufgabenstellung lautet… :(
    Vor allem das mit dem Kreis in der Mitte nicht - und das mit den Steckbriefaufgaben passt für mich auch grad nicht wirklich dazu… Das ist blöd, weil ich gleich Feierabend mache und wir nun nicht mehr zueinander finden werden… Deshalb drücke ich Dir ganz doll die Daumen für morgen - tut mir leid, dass ich da nicht mehr rechtzeitig eine Antwort parat haben konnte…
    LG
    OLaf

  8. Gusti on Januar 18th, 2010 16:07

    nette seite;)

  9. tim on Januar 18th, 2010 15:44

    hm. schade, ansich eine tolle seite, was man verbessern könnte, wäre eine schnellere antwort…:(
    ich wusste nciht, dass das hier immer so lange dauert, ich weiß olaf, dass du auch nur ein mensch bist.. aber ich schreibe morgen meine klausur..scheiße..

    tim R.

  10. Tim on Januar 17th, 2010 14:23

    PS. mein lehrer meinte auch: ” Das muss man auch mit den Steckbriefaufgaben lösen können, das setze ich vorraus” jetzt bin ich verwirrt. ://

  11. Tim on Januar 17th, 2010 14:20

    Hallo Olaf!
    Ich finde das Video super und vorallem super verständlich und nachvollziehbar! tolle arbeit!!
    Aber ich habe nun so eine ähnliche Aufgabe!
    die aufgabe lautet: “brechnen sie den inhalt der gefärbten fläche. die beiden randkurven sind die parablen” jetzt hast du ja natürlich die zeichnung nicht.. aber ich habe dabei zwei funktionen:

    f(x)= 1/4 x^2-1
    g(x)=-1/4 x^2+1

    wenn man diese parabeln zeichnen lässt, sieht man in der mathe so ein “auge”..die gefärbte fläche ost die ires. Deshalb muss man nun die Flächeneinheit von dem kreis ausrechnen, der beträgt in unserem fall nur pi. (3,14..)
    Nun komme ich nciht weiter.
    ich weiß nur das dass ergebnis 2,2 FE sind.
    Und man muss angäblich, so erzählte es mir ein Mitschüler wie folgt ausrechnen:
    Die integralfunktion von der funktion f(x) zu den grenzen 2 und -2 ausrechnen. das ergbnis mal 2 (weil es zwei funktionen sind, die den gleichen FE haben und nur gespiegelt sind) und dann das ganze - pi (das finde cih nachvollziehbar)

    ich habe das so gemacht.. aber wenn cih die grenzen F(2) - F (-2) ausrechne bekomme ich ein ergebnis mit -8,1.. ..aber wenn ich F(-2)-F(2) ausrechne, was ja falsch ist, bekomme ich das richtige ergebnis raus.
    das kann ich mir einfach nicht erklähren.
    ich sitze schon den ganzen vormittag an der aufgabe und komme nciht weiter.
    Unser lehrer hat uns die aufgabe gegeben und meinte, solche kommen in der klausur dran, die wir schon dienstag schreiben.. vorher haben wir aber kein mathe!:(

    wäre sehr dankbar, wenn du bis spätestens morgen zurück schreiben würdest!

    Gruß, Tim R.

  12. luuu on September 24th, 2009 19:11

    hammer geil die ganzen videos
    ich lern damit grade für meine matheklausur morgen u ich bin echt riiichtig schlkecht in mathe
    ich kapier alles Oo
    riechtig geil danke:D

  13. kpoT on Juli 15th, 2009 01:09

    Vielen Dank !!! Ich finde deine Arbeit da, an dieser Seite, echt Seeeeeeehr GUT !!! Noch mal Danke ! :)

    Gruss kpoT

  14. Olaf on Juni 19th, 2009 14:47

    Hi Tobi,
    für Jodutz hat sich das erledigt, weil ich über dem Video bereits darauf hingewiesen hatte, dass ich da einen “Vertipper” gehabt habe - Dein Ergebnis ist also korrekt!! ;)
    LG
    OLaf

  15. tobi on Juni 18th, 2009 17:27

    sorry, bei mir leider nicht, ich komm auch auf diese 1.88! wie kommst du auf die 0.93?
    gruss

  16. Jodutz on März 1st, 2009 21:55

    sorry für das post hat sich erledigt!

  17. Jodutz on März 1st, 2009 20:29

    Hab auch beim ersten Teil 0,55 als Ergebnis, doch der 2. Teil liefert mit den Term
    (4/3 - (-0,55)) = 1,88

    Wegen:
    Stammfunktion F = -1/3x³+2x²-2x
    F(2) - F(0,59) = 1,88
    4/3 - (-0,55) = 1,88

    Addiert mit dem ersten TEil:
    | F(0,59) - F(0)| + | F(2) - F(0,59)| = 2,43
    => 0,55 + 1,88
    Als gesamt Fläche würde dann 2,43 resultieren.

  18. Olaf on Februar 27th, 2009 10:42

    Hej Ihr zwei beiden Jäääsmminnndaa und Caroohliien ;)
    Das freut mich ja megamääääßich ;) ))
    Und was habt Ihr Euch für’s nächste Mal vorgenommen?
    LG
    OLaf

  19. Jäääsmminnndaa und Caroohliien on Februar 26th, 2009 18:02

    Hey, du bist echt richtiig cool drauf und Mathe mit dir macht echt hamma supa megaa mäßig viel Spaß….
    Mal ganz im ernst wir finden dich klasse und verstehen endlich mal was!
    Großes Lob für deine gute Arbeit sagen wir da nur…Respekt für deine Intelligenz in Mathefachwissen!!
    Wir lieben dich krass!
    Tausend Dank für deine Arbeit…
    Haben Dank dir in Mathe mit einer 4- abgeschnitten…Vorher standen wir beide auf 6!!!
    Daanke!

  20. Olaf on Februar 24th, 2009 17:26

    Hi Sebastian,
    ja, die Betragsstriche gelten bis zum Schluss: http://www.oberprima.com/index.php/betragsstriche-flaechenberechnung/nachhilfe
    LG
    OLaf

  21. Sebastian on Februar 24th, 2009 16:17

    Hey Olaf,

    Letzter Rechenschritt (Min. 4:36).
    Bei 0,59 in F(x) eingesetzt habe ich -0,55 raus. Nicht +0,55. Oder sind bei diesem Schritt noch die Betragsstriche ausschlaggebend?

    Grüße, Sebastian

  22. Olaf on Februar 9th, 2009 08:19

    Hi Mike,
    wie cool ist das denn??
    LG und herzlichsten Glückwunsch
    OLaf

  23. Mike on Februar 8th, 2009 18:53

    lieber olaf!

    du bist einfach unglaublich!!!! haben am mittwoch eine hausaufgabenüberprüfung bezüglich integralrechnung geschrieben…bevor ich mir deine videos darüber angeschaut habe, hatte ich keinen durchblick! ich schaute mir also dienstags deine vidoes an und stellte fest; boah, das eigentlich total easy! so wie der das erklärt!
    hab das dann was du über deine videos vermittelt hast bei der überprüfung angewendet und 15 volle punkte (beste HÜ) bekommen.
    seit freitag habe ich nun den spitznamen: meister des integrals =)

    danke danke danke!!!!!

  24. Olaf on Januar 18th, 2009 16:53

    HI Melie,
    Flächen können immer nur positiv sein. Aber der Wert eines Integral einer Funktion, die unter der x-Achse liegt ist negativ. Deshalb setzt man Betragsstriche bei der Flächenberechnung: http://www.oberprima.com/index.php/betragsstriche-flaechenberechnung/nachhilfe
    Ich hoffe, das beantwortet näherungsweise Deine Frage?
    LG
    OLaf

  25. melie on Januar 18th, 2009 16:22

    muss man die fläche unterhalb der x-Achse nicht negativ gewichten?

  26. Vince on November 9th, 2008 17:53

    Ja vielen vielen Dank

  27. Olaf on November 7th, 2008 15:24

    Hi Vince,
    für die Schnittstelle setzt Du die Funktionen gleich

    x^3 - 6x^2 + 9x = -1/2x^2 + 2x
    dann alles auf eine Seite rüber bringen:

    x^3 - 5,5x^2 + 7x = 0

    und mit der Funktion schaust Du Dir jetzt ;) das Video Verfahren Nr. 2 an: http://www.oberprima.com/index.php/verfahren-zur-nullstellenbestimmung-ganzrationaler-funktionen/nachhilfe

    Ich hoffe, ich konnte helfen ;)
    LG
    OLaf

  28. Vince on November 7th, 2008 00:00

    hier sind die Funktionen

    f(x) gleich x^3 - 6x^2 + 9x
    g(x) gleich -1/2x^2 + 2x

    ,die ich vergessen habe Ihnen dabei zu schreiben.

  29. Vince on November 6th, 2008 23:56

    So ich habe hier eine Aufgabe,

    ” x^3 - 5 mal 1/2x^2 + 7x ”

    Thema Integralrechnung und ich soll die Schnittstellen ausrechnen.
    Hier muss ich doch wahrscheinlich auch die PQ- Formael anwenden und wenn ja dann wüsste ich gerne wie Sie das machen?

    Hoffe Sie können mir helfen.

    Gruß Vince

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