Berechnung einer Fläche mit Nullstelle im Intervall
Berechnung von Flächen bei Funktionen mit mit Nullstellen
Bei der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen kommt es häufig vor, dass es Nullstellen im angegebenen Intervall gibt.
Wenn wir die ignorieren, berechnen wir nicht die Fläche, wie meist in der Aufgabe beschrieben, sondern die Flächenbilanz - also die Frage, ob mehr von der Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse rumlümmelt.
Die Nullstelle müssen wir mit den geeigneten Formeln (z.B. pq-Formel) berechnen und dann das Intervall schachteln.
Hinweis zum zweiten Beispiel: da kommt in dem ersten Teil tatsächlich 0,55 raus in dem zweiten Teil habe ich mich vertippt - da kommt 4/3+0,55=1,88 raus und damit ist das Gesamtergebnis: 2.43790886094 (für alle, die gerundete Ergebnisse nur nach der 10. Stelle vertragen)
Link: sevenload.com
Intervallschachtelung
Die Intervallschachtelung geht so: Erst ein Integral von der Funktion berechnen von der unteren Grenze bis zur ersten Nullstelle.
Dann ein Integral mit den Grenzen “erste Nullstelle” und oberer Grenze.
Bei zwei und mehr Nullstellen natürlich immer bis zur nächsten Nullstelle und so weiter.
Video
Das Video behandelt folgende Inhalte / hat folgendes zum Inhalt:
- Doppelfolge - zwei Versionen von Nullstellen im Intervall
- Bestimme den Inhalt der abgebildeten Fläche
- Immer checken, dass im angegebenen Intervall keine Nullstelle auftaucht
- Intervallschachtelung
- Nullstellenberechnung
- Betragsstriche
Solltest Du Fehler in diesem Video finden, schreib mir bitte einen Kommentar oder eine E-Mail, damit ich den Fehler schnellstmöglich korrigieren kann.
Es kann ja auch sein, dass Du keinen Fahler gefunden hast, aber meine Erklärung war für Dich nicht zu 100% nachvollziehbar: Dann meld Dich bitte bei mir und sag, was Du nicht verstehen konntest. Dann setz ich mich hin und erklär’ es Dir.
Berechnung, Fläche, Intervall, Intervallschachtelung, nullstelleWer sich diese Videos angeschaut hat, den interessierten auch diese Kategorien Abiturvideos,
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Bestimmtes Integral Fläche unter Kurven
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29 Kommentare zu “Berechnung einer Fläche mit Nullstelle im Intervall”
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Hi Johann,
kann es sein, dass die Aufgabe noch mehr Wörter enthält? Ansonsten sieht sie mir aus wie das zweite Beispiel in den Video oben. Die Parabel hat 2 Nullstellen, die Du mit der PQ-Formel berechnen kannst (Ergebnisse: x=-1 und x=3) und also befindet sich eine Nullstelle (namlich x=3) in Deinem Intervall.
Weil das eine nach oben geöffnete Parabel ist, liegt der Teil von 0 bis 3 unter der x-Achse und der Rest (von 3 bis 4) über der x-Achse…
Kommst Du damit weiter?
LG
OLaf
Hi René,
die Skizze in dem Video gehört zu x²+2x+1 - hast Du genau richtig gesehen und die Berechnung dreht sich um x²+2x+2
Wenn Du die Ableitung =0 setzt bekommst Du die Extremstelle raus - das heißt, beide Funktionen haben ihr Minimum bei x=1 - aber nur x²+2x+1 hätte dort eine Nullstelle, wie auch Deine Funktion in dem pdf…
x²+2x+2 hat keine Nullstelle.
Hoffe, das beantwortet Deine Frage und die Verwirrung legt sich wieder?
LG
OLaf
Leute habe Probleme mit folgender Aufgabe:
Nach der Integration den prinzipiellen Kurvenverlauf und die Lage der berechneten Teilflächen!
f(x)= x^2-2x-3 zwischen x=0 und x=4
Ich komm wirklich nicht klar mit dieser Aufgabe
Ich habe zu dem Kommentar noch ein Pdf hochgeladen:
http://www.scribd.com/doc/27086164
Hallo OLaf,
ich verstehe etwas überhaupt nicht:
Im ersten Teil des Videos ist eine Zkizze der Parabel.
Bei dieser Skizze befindet sich der Scheitelpunkt bei (1|0).
Die Funktion lautet:
f(x)= x^2-2x+2
Wenn ich aber diese Funktion zeichne ist das nicht identisch mit der Skizze denn dann befindet sich der Scheitelpunkt bei (1|1). ???
Ich habe die Ableitung gebildet:
f’(x)= 2x-2
Die Nullstelle ermittelt:
0=2x-2 |+2
2=2x |:2
X=1
Das heist doch das bei X=1 eine Nullstelle sein muss aber so wie ich es gezeichnet habe ist dort doch gar keine Nullstelle?
Jetzt verstehe ich echt grade nichts mehr :S
Die restliche Rechnung mit F(x) habe ich aber richtig…
Hi Tim,
dazu wollte ich noch kurz sagen, dass ich stark darüber nachdenke (und somit kann man auch sagen, mit Hochdruck daran arbeite), dass OberPrima.com umprogrammiert wird, so dass man sich hier auch gegenseitig helfen können wird - dazu hier ein paar Gedanken von mir: http://www.olafhinrichsen.oberprima.com/2010/01/12/neues-level-2010/
LG
OLaf
Hi Tim,
leider bin ich erst jetzt dazu gekommen, Deinen Kommentar zu beantworten und nun komme ich tatsächlich nicht dahinter, wie die Aufgabenstellung lautet…
Vor allem das mit dem Kreis in der Mitte nicht - und das mit den Steckbriefaufgaben passt für mich auch grad nicht wirklich dazu… Das ist blöd, weil ich gleich Feierabend mache und wir nun nicht mehr zueinander finden werden… Deshalb drücke ich Dir ganz doll die Daumen für morgen - tut mir leid, dass ich da nicht mehr rechtzeitig eine Antwort parat haben konnte…
LG
OLaf
nette seite;)
hm. schade, ansich eine tolle seite, was man verbessern könnte, wäre eine schnellere antwort…:(
ich wusste nciht, dass das hier immer so lange dauert, ich weiß olaf, dass du auch nur ein mensch bist.. aber ich schreibe morgen meine klausur..scheiße..
tim R.
PS. mein lehrer meinte auch: ” Das muss man auch mit den Steckbriefaufgaben lösen können, das setze ich vorraus” jetzt bin ich verwirrt. ://
Hallo Olaf!
Ich finde das Video super und vorallem super verständlich und nachvollziehbar! tolle arbeit!!
Aber ich habe nun so eine ähnliche Aufgabe!
die aufgabe lautet: “brechnen sie den inhalt der gefärbten fläche. die beiden randkurven sind die parablen” jetzt hast du ja natürlich die zeichnung nicht.. aber ich habe dabei zwei funktionen:
f(x)= 1/4 x^2-1
g(x)=-1/4 x^2+1
wenn man diese parabeln zeichnen lässt, sieht man in der mathe so ein “auge”..die gefärbte fläche ost die ires. Deshalb muss man nun die Flächeneinheit von dem kreis ausrechnen, der beträgt in unserem fall nur pi. (3,14..)
Nun komme ich nciht weiter.
ich weiß nur das dass ergebnis 2,2 FE sind.
Und man muss angäblich, so erzählte es mir ein Mitschüler wie folgt ausrechnen:
Die integralfunktion von der funktion f(x) zu den grenzen 2 und -2 ausrechnen. das ergbnis mal 2 (weil es zwei funktionen sind, die den gleichen FE haben und nur gespiegelt sind) und dann das ganze - pi (das finde cih nachvollziehbar)
ich habe das so gemacht.. aber wenn cih die grenzen F(2) - F (-2) ausrechne bekomme ich ein ergebnis mit -8,1.. ..aber wenn ich F(-2)-F(2) ausrechne, was ja falsch ist, bekomme ich das richtige ergebnis raus.
das kann ich mir einfach nicht erklähren.
ich sitze schon den ganzen vormittag an der aufgabe und komme nciht weiter.
Unser lehrer hat uns die aufgabe gegeben und meinte, solche kommen in der klausur dran, die wir schon dienstag schreiben.. vorher haben wir aber kein mathe!:(
wäre sehr dankbar, wenn du bis spätestens morgen zurück schreiben würdest!
Gruß, Tim R.
hammer geil die ganzen videos
ich lern damit grade für meine matheklausur morgen u ich bin echt riiichtig schlkecht in mathe
ich kapier alles Oo
riechtig geil danke:D
Vielen Dank !!! Ich finde deine Arbeit da, an dieser Seite, echt Seeeeeeehr GUT !!! Noch mal Danke !
Gruss kpoT
Hi Tobi,
für Jodutz hat sich das erledigt, weil ich über dem Video bereits darauf hingewiesen hatte, dass ich da einen “Vertipper” gehabt habe - Dein Ergebnis ist also korrekt!!
LG
OLaf
sorry, bei mir leider nicht, ich komm auch auf diese 1.88! wie kommst du auf die 0.93?
gruss
sorry für das post hat sich erledigt!
Hab auch beim ersten Teil 0,55 als Ergebnis, doch der 2. Teil liefert mit den Term
(4/3 - (-0,55)) = 1,88
Wegen:
Stammfunktion F = -1/3x³+2x²-2x
F(2) - F(0,59) = 1,88
4/3 - (-0,55) = 1,88
Addiert mit dem ersten TEil:
| F(0,59) - F(0)| + | F(2) - F(0,59)| = 2,43
=> 0,55 + 1,88
Als gesamt Fläche würde dann 2,43 resultieren.
Hej Ihr zwei beiden Jäääsmminnndaa und Caroohliien
))
Das freut mich ja megamääääßich
Und was habt Ihr Euch für’s nächste Mal vorgenommen?
LG
OLaf
Hey, du bist echt richtiig cool drauf und Mathe mit dir macht echt hamma supa megaa mäßig viel Spaß….
Mal ganz im ernst wir finden dich klasse und verstehen endlich mal was!
Großes Lob für deine gute Arbeit sagen wir da nur…Respekt für deine Intelligenz in Mathefachwissen!!
Wir lieben dich krass!
Tausend Dank für deine Arbeit…
Haben Dank dir in Mathe mit einer 4- abgeschnitten…Vorher standen wir beide auf 6!!!
Daanke!
Hi Sebastian,
ja, die Betragsstriche gelten bis zum Schluss: http://www.oberprima.com/index.php/betragsstriche-flaechenberechnung/nachhilfe
LG
OLaf
Hey Olaf,
Letzter Rechenschritt (Min. 4:36).
Bei 0,59 in F(x) eingesetzt habe ich -0,55 raus. Nicht +0,55. Oder sind bei diesem Schritt noch die Betragsstriche ausschlaggebend?
Grüße, Sebastian
Hi Mike,
wie cool ist das denn??
LG und herzlichsten Glückwunsch
OLaf
lieber olaf!
du bist einfach unglaublich!!!! haben am mittwoch eine hausaufgabenüberprüfung bezüglich integralrechnung geschrieben…bevor ich mir deine videos darüber angeschaut habe, hatte ich keinen durchblick! ich schaute mir also dienstags deine vidoes an und stellte fest; boah, das eigentlich total easy! so wie der das erklärt!
hab das dann was du über deine videos vermittelt hast bei der überprüfung angewendet und 15 volle punkte (beste HÜ) bekommen.
seit freitag habe ich nun den spitznamen: meister des integrals =)
danke danke danke!!!!!
HI Melie,
Flächen können immer nur positiv sein. Aber der Wert eines Integral einer Funktion, die unter der x-Achse liegt ist negativ. Deshalb setzt man Betragsstriche bei der Flächenberechnung: http://www.oberprima.com/index.php/betragsstriche-flaechenberechnung/nachhilfe
Ich hoffe, das beantwortet näherungsweise Deine Frage?
LG
OLaf
muss man die fläche unterhalb der x-Achse nicht negativ gewichten?
Ja vielen vielen Dank
Hi Vince,
für die Schnittstelle setzt Du die Funktionen gleich
x^3 - 6x^2 + 9x = -1/2x^2 + 2x
dann alles auf eine Seite rüber bringen:
x^3 - 5,5x^2 + 7x = 0
und mit der Funktion schaust Du Dir jetzt
das Video Verfahren Nr. 2 an: http://www.oberprima.com/index.php/verfahren-zur-nullstellenbestimmung-ganzrationaler-funktionen/nachhilfe
Ich hoffe, ich konnte helfen
LG
OLaf
hier sind die Funktionen
f(x) gleich x^3 - 6x^2 + 9x
g(x) gleich -1/2x^2 + 2x
,die ich vergessen habe Ihnen dabei zu schreiben.
So ich habe hier eine Aufgabe,
” x^3 - 5 mal 1/2x^2 + 7x ”
Thema Integralrechnung und ich soll die Schnittstellen ausrechnen.
Hier muss ich doch wahrscheinlich auch die PQ- Formael anwenden und wenn ja dann wüsste ich gerne wie Sie das machen?
Hoffe Sie können mir helfen.
Gruß Vince