Gleichung umformen: Quadratische Ergänzung
Eine quadratische Funktionsgleichung soll mittels quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktsform oder auch Punktscheitelform gebracht werden. Aus dieser Form der Funktionsgleichung kann dann der Scheitelpunkt abgelesen werden. Dazu dieser Videobeitrag:
Link: sevenload.com
Und hier die zweite Version, gewünscht von Simone, die man nur anwenden darf, wenn man die Nullstellen der Funktion sucht und keinen pq-Formel oder ABC- oder Mitternachtsformel benutzen darf. Also hier geht es um Nullstellenberechnung!
Link: 
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Kommentare
38 Responses to “Gleichung umformen: Quadratische Ergänzung”
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Hi Mateo,
)
wichtig ist es immer, zu wissen, was man ausrechnen will und mit welcher Technik das geht.
Wenn Du Nullstellen ausrechnen willst, kannst Du das mit pq-Formel, ABC-Formel oder eben wie hier in diesem Beitrag im zweiten Video machen.
Willst Du aber den Scheitelpunkt berechnen, dann so wie im ersten Video… Da gibts noch eine andere Technik, aber da ich denke, dass Du Ableitungen im Unterricht noch nicht hattest, will ich Dir die Technik auch noch nicht verraten
LG und ich hoffe, Deine Frage überhaupt beantwortet zu haben
OLaf
Danke !
Hallo
ich hate noch folgende frage:
Also ist es egal ob man mit die Quadratische Funkition mit der Technik(Eine andere art des aufschreibens) oder mit der normalen art des aufschreibens rechnet?
Hi Horst Heinz,
die Normalform ist:
f(x)=x²+px+q
Die allgemeine Forme ist:
f(x)= ax²+bx+c
und die Scheitelpunktform ist:
f(x)=a(x-xs)²+ys
LG
OLaf
Hallo Raubmilbe,
Du meinst das zweite Video, oder? Da sollen die Nullstellen mit der quadratischen Ergänzung berechnet werden - und die sind unabhängig von der 4, die wir vorher ausgeklammert haben, bzw. teilen wir durch die 4…
Du kannst Dir ja zum Spaß mal diese beiden Funktionen anschauen:
http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER4947b58866d1a5.42069820
Die eine heißt: f(x)=2x^2+12x-4 und die andere g(x)=x^2+6x-2
und haben beide die gleichen Nullstellen (aber natürlich einen unterschiedlichen Scheitelpunkt - deshalb - für Scheitelpunkt immer die Variante 1)
LG
OLaf
Ist das jetzt die Scheitelpunktsform oder die Normalform?
Hi olaf
Erst mal ein Kompliment zu deiner super Seite echt beindruckend das du Dir den Stress mit uns antust
Dann eine Frage zu der letzten Ergänzung .
Wohin verschwindet die 4, also der Stauchungsfaktor vor der Klammer ?
Danke schonmal im Voraus .
Hi Andrea,
ich bin mir nicht ganz sicher, wo Du hakst - könntest Du mir das vielleicht noch kurz schreiben, nachdem Du Dir das Lösungspdf angeschaut hast
http://www.scribd.com/doc/8781086/File-0249
LG
Olaf
Hey,
ich danke dir für diese seite, ich versteh’ jetzt endlich die quadratische ergänzung, nur bei einer aufgabe komm ich nicht weiter :
2x²+2x-4
bitte helft mir sie zu lösen (wäre nett wenn ihr nich nur das ergebnis sonder auch die zwischenschritte hinschreiben würdet)
Danke schon mmal !!
Also ich muss sagen, dass ich total begeistert von dieser Seite bin. Und die Idee mit der du es machst!
Ich habe heute aus lauter Verzweiflung im Internet versucht irgendwas zum Thema quadratische Ergänzungen und PQ- Formel zu finden, da ich morgen eine Matheklausur schreibe und diesen ganzen Mist nicht verstanden haben
.. Und siehe da.. da erscheint diese Seite und macht meinen Kopf um einiges leichter!..
Es hat mir sehr geholfen.. Dankeschön!
LG Carolin
Hi Nick,
) aber die Klammer muss nach der binomischen Formel ausgerechnet werden: http://www.oberprima.com/index.php/category/binomische-formeln-kategorie/ Dann wird aus (x+2)^2=x^2+4x+4
das x ist nicht weg
LG
OLaf
Hi Lina,
das will ich mal so versuchen, weil ich aktuell in dieser Situation bin: http://www.oberprima.com/index.php/aktuelle-ankuendigung/nachhilfe:
Wenn ich in y1=-(x-1)² für x eine 0 einsetze, dann kriege ich -1 raus.
Der Punkt soll aber S(0/2) sein - also musst ich in
die Gleichung y1=-(x-1)² noch ein +3 dranhängen, weil -1+3=2 sind. Zur Kontrolle:
Wenn ich jetzt in y1=-(x-1)²+3 die Null einsetze, steht da
y1=-(-1)²+3 und das ist -1+3=2
Das kannst Du mit den anderen Funktionen auch machen, hoffe ich?
LG
OLaf
Hi Julia,
erst mal herzlichen Dank für Dein Kompliment
Und dann zu Deiner Frage:
Das ist keine Ausnahme, sondern diese wilden Äquivalenzumformungen.
Ein einfacheres Beispiel:
x+2,25=0 |-2,25
x=-2,25
Also wird auf beiden Seiten gerechnet: minus 2,25.
Hier oben in dem Video wird das nur gemacht, wenn man die Nullstellen rausfinden soll, nicht aber, wenn man die Scheitelpunktsform berechnen soll.
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
Was ich an der ganzen Geschichte mit der quadr. ergänzung nicht verstehe ist, wo das eine “x” plötzlich hin ist.
In deiner zweiten Aufgabe wird aus x^2-3x plötzlich
(x-1,5)^2.
Wo bleibt hier das x hinter der 3 ??
Löst man die Klammer auf, dann kommt x^2-3 raus, aber nicht x^2-3x.
Du lässt das x einfach weg ?
hi,
ich habe eine frage…
Verschieben sie y1=-(x-1)²; y2=3x²-1; y3=-x²-2x+1 so,dassdie verschobene parabel durch S(0|2) geht.
das wäre echt lieb =)
Vielen Dank im vorraus
Liebe Grüße
Hi ich finds total toll wie du den Leuten hilfst, meine Mathe Lehrer kann nicht wircklich erklären und ich kann mir sowas nicht selbst beibringen, deshalb ist es eine richtige Hilfe das es dich gibt das meiste verstehe ich jetzt viiiiel besser als vorher!!!
Ich habe aber eine Frage, undzwar bei dieser aufgabe X hoch 2- 3x+2,25 =0 /-2,25 , dann wird aus der 0 2,25 ist das bei allen aufgaben die es gibt so oder ist diese Aufgabe eine Ausnahme??
lg Julia
Hi Nicole,
ich freue mich über Deinen Kommentar und werde auf jeden Fall so weiter machen!
LG
OLaf
Hey,
ich weiß gar nicht wie ich dir danken soll, dass du so gut erklären kannst. Erst durch Dich und Deine Seite versteh ich das! Sonst bin ich im Unterricht nie mitgekommen. Du hilfst hier vielen Menschen, und das kostenlos, sowas sollte wirklich belohnt werden. Mach auf jeden Fall so weiter! =)
Diese Seite ist wahrlich ein Nachhilfe der tollsten Art. Da alles klar nachvollziehbar erklärt wird, kann man bei einem schwierigen Punkt 1000 mal zurückspulen und schauen bis man es begrieft.
Ich finde es unglaublich toll was ihr hier macht! Viel Erfolg und vielen Dank !! =)
heyho,
bin zwar schon student, gebe aber nachhilfe in mathe und hatte das alles nicht mehr so drauf…
wollte nur mal schreiben dass ichs echt klasse finde, dass ihr sowas filmt wie mans rechnet^^ daumen hoch! hat mir super geholfen
Hi rondenbarg,
vielen Dank für Deinen Kommentar und die Aufgabe -
Die Null kannst Du Dir gleich am Anfang auf der rechten Seite der Gleichung “besorgen”, in dem Du auf beiden Seiten -1 rechnest.
Wenn Du die Nullstellen ausrechnen sollst, dann kannst Du so weiterrechnen wie im zweiten Video und Dein Ergebnis müsste (x-1)²=1/3 sein…
Dann die Wurzel ziehen und raus kommen:
x1=1+wurzel(1/3)
x2=1-wurzel(1/3)
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
hey, deine seite ist klasse !
Ich habe ein frage zur quadratischen Ergänzung !
4x²- 8x + 4 = 1
Ich bin hier: ” (x-1)² = 0,25 ” nicht mehr weiter gekommen. Man muss doch auf einer Seite die “0″ haben und ich wusste nicht wie ich die 0,25 da weg kriege. Ist mein weg auch bis hier hin richtig ?
thx für die shcnelle antowrt, hatte nur kurz zeit mir das nochmal durch zu schauen und ja ich hatte bei der zweiten aufgabe geschaut
die arbeit war gut
thx echt geile seite hat mir shcon bei vielen dingen geholfen
Hi Rebecca,
die aufgabe : -2x²+4x+2
Auf jeden Fall nur so wie im ersten Beispiel rechnen…
-2x²+4x+2
-2(x²-2x-1)
-2(x²-2x+1-1-1)
-2((x-1)²-2)
-2(x-1)²+4
Ich schätze, Du hast das zweite Video benutzt, oder?
Hoffe, das geht morgen alles klar bei Dir!
LG
OLaf
Hi Michele,
da nimmst Du das Video oben und wendest es auf Deine Gleichung an…
y(x) = -2x² - 4x +1
= -2(x²+2x-0,5)
= -2(x²+2x+1-1-0,5)
die +1-1 ist die quadratische Ergänzung
= -2((x+1)²-1,5)
= -2(x+1)²+3
halli hallo also die obengenannte aufgabe verstehe ich wende ich das jedoch auf die aufgabe im buch an komme ich auf eine falsche lösung wieso? (bitte am aller besten bis mrogen lösen, weil ich eine arbeit schreieb und nicht weiß ob es vor kommt)
die aufgabe : -2x²+4x+2
ich komme auf (x-1)²+2 (die plus zwei ist falsch ich soll auf +4 kommen, wie es im buch steht.)
ich sage schonmal danke
Hallo Olaf,
meine Aufgabe lautet :
y(x) = -2x² - 4x +1
die Lösung ist :
y(x) -2(x+1)²+3
aber ich weiss nicht man wie man auf diese Lösung kommt
Hi Kent,
das kann mal vorkommen, ist aber hoffentlich kein dauerhafter bug?
LG
OLaf
ooh, warum lädt denn das 2te Video kaum?
Hi Simone,
das Video ist bei sevenload online - hier der Link dorthin: http://tinyurl.com/4pdofo
LG
Olaf
hi Olaf,
ich habe dir eine Aufgabe geschickt mit der Würzel ziehen.Das Video habe ich verstanden.Danke. Leider ist die Aufgabe nicht so wie wir es gerechnet haben. Und ich versthe den rechen weg der Aufgabe leider nicht, die ich dir geschickt habe. Könntest du mir es noch mal erklären die aufgabe war zur errienrung:
4x²-12x+9=0 |:4
x²-3x+2,25=0|-2,25
x²-3x 0-2,25|q.E (heisst Qaudratische Ergänzung)
X²-3x+1,5²=-2,25+1,5²
(x-1,5)²=6|(wurzel ziehen)
x-1,5=+- (wurzel ziehen)6=+- 2,445
x1=2,445+1,5=3,945
x2=-2,445+1,5=-0,945
dieser Rechnerweg habe ich nicht verstanden. Du hast es auch in der Video anders erklärt. Das ich überigens einfacher finde. Aber könntest du bitte diese Aufgabe so durch rechnen wie wir es geschrieben haben. Das wäre sehr hilfsreich für mich.
Danke schon mal im Vorraus.
Liebe Grüße
Simone
Hi Melis,
wenn Du 3 aus dem Term 3x²-12x ausklammern willst, musst Du jeden Teil der Gleichung, also die 3x² und die -12x durch die 3 teilen. Auf die -4x komme ich also, wenn ich -12x durch 3 teile.
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
wo hast du denn die 4 her ??
also die 4x???
wie kommt man denn dadrauf? das idt in der 38 sekunde wo kommt die her ausklaammern wie geht das???? wa sist das???
Danke Tag gerettet… also wenn ich mir diese Erklärung anschau und die letzten Mathestunden..Respekt!
ich zitiere mal meinen Mathelehrer…
6x und dann wird daraus 6x/x und das ist dann (6/2)²
…und ich dachte schon *rofl*
Ich freu mich, Lisa, Danke für die Fragen!
hi olaf,
und die arbeit war auch super 
hab das alles nochma nachgerechnet und auch mit anderen zahlen, versteh das dank dir jetzt! vielen dank!
lg, lisa
Hi Lisa!
Die erste Scheitelpunktsform, die Du aufgeschrieben hast, soll bestimmt (3(x-2)²-27 heißen, weil nach der 2 steht da meistens kein x mehr.
aus
3(x²-2x)
wird wirklich
3(x²-2x +1 -1) -15
dann machst du aus x²-2x+1 -> (x-1)²
dann steht da: 3((x-1)² -1) -15
dann die 3 mit der verbliebenen -1 mal nehmen, das löst die Klammer auf, dann steht da
3(x-1)² -3-15
und -3-15 ist -18
Zu der Frage welche Zahl zum Quadrat ergibt 2, die Überlegung brauchst Du hier gar nicht, sondern welche Zahl zum Quadrat ergibt 1…
Wenn noch Fragen sind, bitte gerne stellen, es kann immer gut sein, dass so was, was ich grad aufgeschrieben habe, doch besser noch mal als Video gemacht sein sollte, deswegen: nie aufgeben!
Tschakka
Olaf
hey olaf, ich bins nochma lisa , also das video hat mir schon geholfen hab aber noch ne frag dazu. also ab 1:25 min da machst du doch aus der formel 3(x²-4x +4-4 )-15 …daraus machst du dann die scheitelpunktsform das wäre dann (x-2x)² -27 die -4x teilst du..wegen dem quadrat…ich hab da ne frage und zwar wenn statt ne 4 eine 2 da steht… also 3(x²-2x) -15 dann wird daraus 3(x²-2x +1 -1) -15 und wenn was kommt da als scheitelpunktsform? mit der 2 kireg ich das nie hin…mit allen anderen zahlen ist das einfach…sonst kapier ich das…nur diese doofe …welche zahl zum quadrat ergibt 2? im taschenrechner steht da iwas mit 1,4… aber das wäre ungenau…
lg, lisa