Orthogonale Vektoren und lineare Abhängigkeit
Vektoren sollen auf Orthogonalität geprüft werden bzw. ist bei einem Vektor eine Variable angegeben und nun soll dieser Wert erst so bestimmt werden, dass dieser Vektor mit der Variable rechtwinklig (orthogonal) zu einem anderen steht und dann das ganze Spielchen noch mal mit drei Vektoren, die linear abhängig sein sollen:
Hinweis: Markus hat folgendes entdeckt: Kleiner Fehlerteufel in Minute 2. Alpha ist -6 und nicht 6…
Als Probe kann man r und s und alpha in die Gleichung einsetzen, die man am Anfang aufgestellt hat; wenn dann auf beiden Seiten der gleiche Vektor rauskommt liegt wirklich eine lineare Abhängigkeit vor.
Link: 
Das Ganze lässt sich auch mit dem Determinantenverfahren klären. Die Bedingung für lineare Abhängigkeit ist dabei, dass D=0 sein muss:
Link:
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47 Kommentare zu “Orthogonale Vektoren und lineare Abhängigkeit”
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Okay hat sich erledigt.. bin selbst drauf gekommen
sehr doof von mir..=P
Hallo.
Ich hab jetz bestimmt 10 mal nachgerechnet..
Das müsste doch eigentlich heißen:
1-8+12+3-12+6 stehen, oder?
2x(-1)x4 ist doch -8, nicht +8..
1×3x1 ist 3 und nicht -3
-1x(-3)x1 ist 6 und nicht -6…
ich hab das zwar immer anders gerechnet, also Hauptdiagonalen minus Nebendiagonalen, aber das verwirrt mich extrem, da können ja keine unterschiedlichen Ergebnisse bei rauskommen..
Irre ich mich?
Liebe Grüße
Hi gebbie,
Linearkombinationen sind ja sowas wie oben… Hast Du dazu ne konkrete Aufgabe - dann poste sie gern hier: http://bit.ly/bQCxCT
LG
OLaf
Hallo Olaf!
Hast du eventuell auch ein Viedo über Linearkombinationen gemacht?
LG, Gebbie
HI Einladungzumparadies,
linear abhängig sind die zwei Richtungsvektoren von zwei parallelen oder identischen Geraden: http://www.oberprima.com/index.php/lagebeziehungen-von-vektorgeraden/nachhilfe
Und auf Orthogonalität (Rechtwinkligkeit) wird ja oben im ersten Video geprüft - da muss das Skalarprodukt=0 sein dazu auch noch: http://www.oberprima.com/index.php/skalarprodukt/nachhilfe
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
ich meine damit, dass wir 2 Geraden haben und überprüfen sollen, ob diese orthogonal zu einander sind… ps danke coole Seite
Sind die Vektoren jetzt linear abhängig?
Was soll man tun, wenn es heisst man solle 2 Geradengleichungen auf lineare Abhängigkeit prüfen… oder gibts sowas net?
HI Elli,
ganz sicher bin ich nicht, ob ich sehen kann, was Du anders gerechnet hast… Deshalb jetzt erst mal so:
Wenn man immer von links oben nach rechts unten multipliziert und dann alle Multiplikationen von links unten nach rechts oben abzieht, dann macht man es richtig und es ist auch wurscht, was zuerst gerechnet wird…
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
Bei dem zweiten Video mit der Determinante. Muss da nicht “1+8-12-3+12-6″ hin statt “1+8+12-3-12-6″? Es würde zwar bei beidem 0 rauskommen, aber muss das nicht so? Oder bin ich jetzt vollkommen durcheinander?
Hi Dennis,
das kann man als Probe auf jeden Fall noch machen - ich schreibs mal unter das Video!
LG
OLaf
Hi Olaf,
am Ende von Video 1 muss man am Ende doch noch prüfen, ob eine lineare Abhängigkeit besteht, indem man r und s und alpha in die Gleichung einsetzt, die man am Anfang aufgestellt hat; wenn dann auf beiden Seiten der gleiche Vektor rauskommt liegt doch erst eine lineare Abhängigkeit vor oder ?:D
Hi Joh,
komplanar ist der Spezialbegriff für 3 oder mehr linear abhängige Vektoren - die liegen dann miteinander (kom-) in einer Ebene (planar).
Es gibt auch die lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren, da ist der Spezialbegriff dann Kollinearität - die liegen miteinander (ko-) in einer Richtung (-linear)
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
Hi Olaf
kannst du mir erklären was der Unterschied zwischen linear abhängigen Vektoren und komplanaren Vektoren ist?
Hey Juli,
aber Spaß beiseite - wenn Du in die Kategorie Vektorrechnung gehst: http://www.oberprima.com/index.php/category/vektorrechnung-matrizen/
sicher ist nichts
dann sind die Unterkategorien schon ziemlich nach Schwierigkeitsgrad geordnet - die Videos in diesen Unterkategorien zwar nicht, aber das sind dann auch nicht mehr so viele pro Unterkategorie.
Hoffe, das hilft Dir weiter - ansonsten würde ich vorschlagen, immer das Thema, dass Du gerade im Unterricht behandelst (oder was schon behandelt wurde…) in die Suche einzugeben und dann steht unter den Videos immer eine Kategorienauflistung - wenn Du da reinklickst, findest Du imemr auch verwandte Videos zu dem Unterthema…
So, ich hoffe, Du findest, was Du suchst, ist alles noch ein wenig kleinteilig bei OberPrima.com aber das krieg ich noch in den Griff
LG
OLaf
Hey Olaf,
Also, wo fängt es denn an mit den Basisvideos?Dass ich da mal reinkomme und nicht irgendwo mittendrin bei Ebenenschnittpunkt und so..
sag mal, hast du hier irgendwo auf der Seite ne idiotensichere Einführung über Vektoren??
Gruß Juli
Hey Paul,
absolut richtig - steht auch über dem Video imText
LG
OLaf
Hi Olaf!
Bei deinem 1ten Video hier auf der Seite zum Thema “Orthogonale Vektoren und lineare Abhängigkeit”
kommst du ziemlich am Anfang auf ein Ergebnis für “Alpha” was meiner Meinung nach nicht richtig ist
Alpha ist bei dir =6 müsste aber eigentlich -6 sein, damit das Skalarprodukt 0 ist und nicht -12
Gruß Paul
Hej Mangas,
das hoffe ich
dazu der Link: http://www.oberprima.com/index.php/normalenvektor/nachhilfe
und auf jeden Fall bis zum Ende anschauen, da kommt die Abkürzung
LG und viel Erfolg bei der Klausur
OLaf
Hey Olaf,
morgen schreiben wir im Rahmen unseres BWL-Studiums eine Matheprüfung. Eine der Fragen wir vermutlich folgende sein:
“Finden Sie einen Vektor, der nicht der Nullvektor ist und orthogonal zu den beiden Vektoren c und d ist. Ist der Vektor eindeutig? Begründen Sie!”
c= (-1,1,2). d= (3,-2,-1) (aber halt ich hochformat
)
Glaubst du, du kannst mir / uns helfen?
danke olaf. echt klasse!!!
LG
Moin Mike,
nun weiß ich natürlich grad nicht, wo für Dich die Haken an den Aussagen sind, deshalb werde ich mal meine 2ct dazu schreiben:
Gegeben seien die vektoren a= (2,1)T und b=(1,-2)T.
Bestimme die wahren Aussagen:
1.) a und b sind linear abhängig
linear abhängig sind die, wenn gilt:
a=r*b
also so ähnlich wie hier:
http://www.oberprima.com/index.php/vektorrechnung-lagebeziehung-gerade-gerade-parallel/nachhilfe
und die Antwort ist: Nein, sind se nicht
2.) a und b schließen einen Winkel von 90 Grad ein
Das gilt wie in den Videos in diesem Beitrag, also
a*b=0
(2/1)*(1/-2)=2*1+1*(-2)=0=Orthogonal
3.) a und b bilden eine Basis des R²
Die Vektoren sind ja linear unabhängig, deshalb stimmt die Aussage - dazu: http://books.google.de/books?id=prZqOaxgoyAC&pg=PA103&lpg=PA103&dq=basis+in+R2&source=bl&ots=t7s5ReNCNk&sig=MF10CLrEJyDzY7bVN4LOaosuxpc&hl=de&ei=57bpSv7OLpP8_AbPrfGTDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CDoQ6AEwCA#v=onepage&q=basis%20in%20R2&f=false
4.) a und b bilden eine Orthogonalbasis des R²
Da die Vektoren senkrecht zueinander stehen, und 3. stimmt, stimmt auch 4.
5.) keine Aussagen 1-4 sind richtig
Und 5. ist dann klar, oder?
Kannst Du mal schauen, was Dir zu Basis und Orthogonalbasis für Vokabeln an die Hand gegeben wurden? Dafür würde ich mich schwer interessieren
LG
OLaf
Hallo Olaf,
klasse Seite und super hilfe.
Deine videos haben mir schon gut weitergeholfen, dennoch habe ich eine Aufgabe bei der ich leider nicht alleine weiterkomme:
Gegeben seien die vektoren a= (2,1)T und b=(1,-2)T.
Bestimme die wahren Aussagen:
1.) a und b sind linear abhängig
2.) a und b schließen einen Winkel von 90 Grad ein
3.) a und b bilden eine Basis des R²
4.) a und b bilden eine Orthogonalbasis des R²
5.) keine Aussagen 1-4 sind richtig
Danke für deine Hilfe, Grüße aus NF
Mike
einfach klasse! super erklärt und endlich hab ichs verstanden =)
Hi Alex,
das ist absolut korrekt so!
LG
OLaf
Hallo Olaf,
ich habe eine kurze Frage.
Ich würde gerne wissen ob, AB und AC im Dreieck ABC orthogonal sind.
Dreieck:
Pkt A (2/6/1)
Pkt B (6/8/4)
Pkt C (3/4/1)
AB = (4/2/3)
AC = (1/-2/0)
Also muss gelten:
4*1+2*(-2) +3*0 = 0
4 – 4 = 0
Kann ich so schlussfolgern, dass AB und AC orthogonal zu einander sind?
mfg
Alex
PS: Super Videos !
bester mann olaf!!! schön, dass es noch so leute wie dich gibt …
mach weiter so
süsses Lachen !!!
hallo olaf!
du bist einfach der beste!!!
mit hilfe des Determinatenverfahren kann man die unbekannte Vektorkoordinate bestimmen und wenn man die dann hat, kann man durch lösen eines überbestimmten Gleichungssystems (drei gleichungen, 2 unbekannte) die skalaren Faktoren bestimmen.
habe vielen dank für diese beiden Videos!!!!!
Danke Olaf
habs verstanden 
Hi Yousef,
drei Vektoren sind immer dann von einander abhängig, wenn gilt:
t*a-Vektor+r*b-Vektor+s*c-Vektor=0
Allerdings muss bei der Rechnung einer der drei Faktoren t, r oder s ungleich Null sein, ansonsten nennt man die Lösung “trivial”
Das Gleichungssystem muss lösbar sein, damit die Vektoren abhängig sind.
Wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist, dann sind sie nicht abhängig, sondern unabhängig.
LG
OLaf
Also Olaf
Meine frage bezieht sich auf wonach man es ( nach dem lgs ) rausfindet ob es linear A. oder linear ua. ist?
D.H ich stelle ein LGS und hab verschiedene Lösungen …Woran kann ichs erkennen was was ist?
Ich hoffe du verstehst was ich meine 
Yo MC,
da hast Du natürlich recht, steht auch schon über dem Vide! Trotzdem Danke !!
LG
OLaf
Bei Lösung muss doch für alpha -6 als Ergebnis rauskommen oder?
- alpha - 6 = 0 / + alpha
- 6 = alpha
Hi Yousef,
wo liegt da für Dich die Schwierigkeit?
Ich frage nach, weil ich aus der Fragen nicht genau erkennen kann, was genau Du nicht verstehst.
Wär gut, wenn Du das noch mal genauer schreiben könntest…
LG
OLaf
Hi Olaf,
ich versteh leider garnicht den unterschied zwischen linearabhängig und linearunabhängig…
Wäre echt nett, wenn du mir da helfen könntest
Danke
Hi Roland,
tut mir leid, dass ich erst so spät antworte, da bist Du mir durchgerutscht…
Also:
Zeige, dass die Vektoren v1: (1/2)*(1 1 2), v2: (1/Wurzel2)*(-1 1 0) und v3: (1/Wurzel27)*(3 3 -3) eine Orthonormalbasis des R3 darstellen.
Das war das, was ich vermutet hatte.
Der Faktor vor den Vektoren normiert diese auf eine Einheit Länge.
Jetzt machst Du das Skalarprodukt von jeder Zweierpaarung von Vektoren und wenn überall Null rauskommt, kannst Du sagen, dass das eine Orthonormalbasis ist.
Edit: Jetzt hab ich grad noch mal geschaut: Die hier angegebenen Vektoren sind nicht auf eine Einheit normiert…der erste zumindest nicht, der müsste 1/wurzel 5 lang sein, damits ottonormal ist
LG
OLaf
P.S.: Ich werd dazu auch noch ein Video machen, wird aber ein wenig dauern…
Habe leider keinen Scanner zur Hand.
Deswegen hier einfach mal so die Aufgabe:
Zeige, dass die Vektoren v1: (1/2)*(1 1 2), v2: (1/Wurzel2)*(-1 1 0) und v3: (1/Wurzel27)*(3 3 -3) eine Orthonormalbasis des R3 darstellen.
Hi Roland,
kannst Du mir die Geschichte evtl. aufschreiben und als Scan per Mail an olafhinrichsen@oberprima.com schicken - ich hab zwar ne Ahnung, was Du machen sollst, aber es wäre einfacher für mich, wenn ich die Originalaufgabe mal sehen könnte
LG
OLaf
P.S.: r kann ja auch einfach der Faktor sein, der mit dem Vektor multipliziert den Vektor auf die Länge 1 normiert… z.B. für Vektor (3|4|5) - r=1/wurzel50
Hallo Olaf,
danke nochmals für deine Antwort!
Jetzt stehen wir allerdings vor dem nächsten Problem und somit vor einer anderen Frage:
Wenn man 3 Vektoren gegeben hat und zeigen soll, dass diese eine Orthonormalbasis bilden, dann ist der erste Schritt zu prüfen, ob alle 3 Vektoren orthogonal zueinander sind. Ist dies der Fall, muss man sie normieren und prüfen ob dann der normierte Basisvektor b1*b1=1 ergibt. Die Vektoren sind mit der Form r*(x1 x2 x3) usw gegeben. D.h. vor dem Vektor steht eine “Zahl” die wohl die länge darstellen soll.
Das Problem an der ganzen Sache: Muss man dabei die länge des Vektors bei den ganzen oben genannten Schritten beachten? Wenn wir die Länge nämlich reinmultiplizieren, kommen wir auf ein falsches Ergebnis.
Viele Grüße
Roland
Hallo Roland,
Wenn 2 oder mehrere Vektoren orthogonal zueinander sind, also Skalarprodukt = 0, sind sie dann auch linear unabhängig?
Ja, wenn Du sie in die Gleichung wie in dem Video einbaust, kannst Du nicht auf ein sinnvolles Ergebnis kommen.
Wenn man eine orthogonal Basis bilden möchte, dann müsste man für die Basis nicht noch zusätzlich zeigen, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sind.
Da gehe ich von aus, weil x-y-z-Achse bilden ja jeweils einen rechten Winkel miteinander und die kriege ich niemals in die Gleichung, also auch jede andere Basis nicht…
LG
OLaf
Hallo Olaf,
nochmal eine andere Frage:
Wenn 2 oder mehrere Vektoren orthogonal zueinander sind, also Skalarprodukt = 0, sind sie dann auch linear unabhängig? Wenn man eine orthogonal Basis bilden möchte, dann müsste man für die Basis nicht noch zusätzlich zeigen, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sind.
LG
Roland
Hi Roland,
ja, da hast Du recht. entweder Du schreibst:
Vektor a + r mal Vektor b=0
oder Du machst das wie in diesem Video: http://tinyurl.com/3oq7ab bei der Überprüfung der Kollinearität der Richtungsvektoren…
LG
OLaf
Danke für deine Antwort.
Allerdings bekommt man manchmal aber auch nur 2 Vektoren und muss prüfen ob diese linear abhängig sind.
Löst man, wenn ich mich nicht täusche, mit Hilfe des Nullvektors.
Aber deine Antwort hat schon geholfen!
LG
Roland
Hi Roland,
man kriegt ja immer drei Vektoren auf den Tisch gelegt und soll dann schauen, ob die linear abhängig oder unabhängig sind. Dann prüft man das so wie im Video und fertig, würde ich sagen.
Ansonsten klingt es für mich auch gut, dass wenn sie linear abhängig sind, dann können sie als Linearkombination dargestellt werden und wenn die Vektoren als Linearkombination darstellbar sind, heißen sie linear abhängig.
Hoffe, das hilft Dir
LG
OLaf
Hallo Olaf,
heißt das nun auch, dass alle linear abhängigen Vektoren auch als Linearkombination darstellbar sind? Oder anders rum?
Vielen Dank, Markus - Du darfst das mit dem Weg sagen, wenn ich das sagen würde käm’s mir wie eine faule Ausrede vor!
Aber ich lass es vorläufig mal drin, bis mir jemand sagt, dass er oder sie durch diesen Fehler total rausgebracht wird
LG
OLaf
Kleiner Fehlerteufel in Minute 2. Alpha ist -6 und nicht 6….aber der Weg ist entscheidend