Orthogonale Vektoren und lineare Abhängigkeit

Vektoren sollen auf Orthogonalität geprüft werden bzw. ist bei einem Vektor eine Variable angegeben und nun soll dieser Wert erst so bestimmt werden, dass dieser Vektor mit der Variable rechtwinklig (orthogonal) zu einem anderen steht und dann das ganze Spielchen noch mal mit drei Vektoren, die linear abhängig sein sollen:
Hinweis: Markus hat folgendes entdeckt: Kleiner Fehlerteufel in Minute 2. Alpha ist -6 und nicht 6…

Link:

Das Ganze lässt sich auch mit dem Determinantenverfahren klären. Die Bedingung für lineare Abhängigkeit ist dabei, dass D=0 sein muss:

Link:

Abhängigkeit, lineare, Orthogonal, vektor

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36 Kommentare zu “Orthogonale Vektoren und lineare Abhängigkeit”

Olaf on Dezember 11th, 2009 12:59

Hi Joh,
komplanar ist der Spezialbegriff für 3 oder mehr linear abhängige Vektoren - die liegen dann miteinander (kom-) in einer Ebene (planar).
Es gibt auch die lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren, da ist der Spezialbegriff dann Kollinearität - die liegen miteinander (ko-) in einer Richtung (-linear)
Hoffe, das hilft Dir weiter
LG
OLaf
Joh on Dezember 11th, 2009 04:29

Hi Olaf
kannst du mir erklären was der Unterschied zwischen linear abhängigen Vektoren und komplanaren Vektoren ist?
Olaf on Dezember 4th, 2009 10:21

Hey Juli,
sicher ist nichts aber Spaß beiseite - wenn Du in die Kategorie Vektorrechnung gehst: http://www.oberprima.com/index.php/category/vektorrechnung-matrizen/
dann sind die Unterkategorien schon ziemlich nach Schwierigkeitsgrad geordnet - die Videos in diesen Unterkategorien zwar nicht, aber das sind dann auch nicht mehr so viele pro Unterkategorie.
Hoffe, das hilft Dir weiter - ansonsten würde ich vorschlagen, immer das Thema, dass Du gerade im Unterricht behandelst (oder was schon behandelt wurde…) in die Suche einzugeben und dann steht unter den Videos immer eine Kategorienauflistung - wenn Du da reinklickst, findest Du imemr auch verwandte Videos zu dem Unterthema…
So, ich hoffe, Du findest, was Du suchst, ist alles noch ein wenig kleinteilig bei OberPrima.com aber das krieg ich noch in den Griff
LG
OLaf
Juli on Dezember 3rd, 2009 19:46

Hey Olaf,
sag mal, hast du hier irgendwo auf der Seite ne idiotensichere Einführung über Vektoren?? Also, wo fängt es denn an mit den Basisvideos?Dass ich da mal reinkomme und nicht irgendwo mittendrin bei Ebenenschnittpunkt und so..
Gruß Juli
Olaf on Dezember 1st, 2009 17:45

Hey Paul,
absolut richtig - steht auch über dem Video imText
LG
OLaf
Paul on Dezember 1st, 2009 17:24

Hi Olaf!
Bei deinem 1ten Video hier auf der Seite zum Thema “Orthogonale Vektoren und lineare Abhängigkeit”
kommst du ziemlich am Anfang auf ein Ergebnis für “Alpha” was meiner Meinung nach nicht richtig ist
Alpha ist bei dir =6 müsste aber eigentlich -6 sein, damit das Skalarprodukt 0 ist und nicht -12

Gruß Paul
Olaf on November 24th, 2009 11:51

Hej Mangas,
das hoffe ich
dazu der Link: http://www.oberprima.com/index.php/normalenvektor/nachhilfe
und auf jeden Fall bis zum Ende anschauen, da kommt die Abkürzung
LG und viel Erfolg bei der Klausur
OLaf
Mangas on November 24th, 2009 11:13

Hey Olaf,

morgen schreiben wir im Rahmen unseres BWL-Studiums eine Matheprüfung. Eine der Fragen wir vermutlich folgende sein:

“Finden Sie einen Vektor, der nicht der Nullvektor ist und orthogonal zu den beiden Vektoren c und d ist. Ist der Vektor eindeutig? Begründen Sie!”

c= (-1,1,2). d= (3,-2,-1) (aber halt ich hochformat )

Glaubst du, du kannst mir / uns helfen?
gobi on November 22nd, 2009 23:25

danke olaf. echt klasse!!!

LG
Olaf on Oktober 29th, 2009 16:40

Moin Mike,
nun weiß ich natürlich grad nicht, wo für Dich die Haken an den Aussagen sind, deshalb werde ich mal meine 2ct dazu schreiben:
Gegeben seien die vektoren a= (2,1)T und b=(1,-2)T.
Bestimme die wahren Aussagen:
1.) a und b sind linear abhängig
linear abhängig sind die, wenn gilt:
a=r*b
also so ähnlich wie hier:
http://www.oberprima.com/index.php/vektorrechnung-lagebeziehung-gerade-gerade-parallel/nachhilfe
und die Antwort ist: Nein, sind se nicht
2.) a und b schließen einen Winkel von 90 Grad ein
Das gilt wie in den Videos in diesem Beitrag, also
a*b=0
(2/1)*(1/-2)=2*1+1*(-2)=0=Orthogonal
3.) a und b bilden eine Basis des R²
Die Vektoren sind ja linear unabhängig, deshalb stimmt die Aussage - dazu: http://books.google.de/books?id=prZqOaxgoyAC&pg=PA103&lpg=PA103&dq=basis+in+R2&source=bl&ots=t7s5ReNCNk&sig=MF10CLrEJyDzY7bVN4LOaosuxpc&hl=de&ei=57bpSv7OLpP8_AbPrfGTDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CDoQ6AEwCA#v=onepage&q=basis%20in%20R2&f=false

4.) a und b bilden eine Orthogonalbasis des R²
Da die Vektoren senkrecht zueinander stehen, und 3. stimmt, stimmt auch 4.
5.) keine Aussagen 1-4 sind richtig
Und 5. ist dann klar, oder?
Kannst Du mal schauen, was Dir zu Basis und Orthogonalbasis für Vokabeln an die Hand gegeben wurden? Dafür würde ich mich schwer interessieren
LG
OLaf
Mike Blankenberg on Oktober 29th, 2009 14:44

Hallo Olaf,

klasse Seite und super hilfe.
Deine videos haben mir schon gut weitergeholfen, dennoch habe ich eine Aufgabe bei der ich leider nicht alleine weiterkomme:

Gegeben seien die vektoren a= (2,1)T und b=(1,-2)T.
Bestimme die wahren Aussagen:
1.) a und b sind linear abhängig
2.) a und b schließen einen Winkel von 90 Grad ein
3.) a und b bilden eine Basis des R²
4.) a und b bilden eine Orthogonalbasis des R²
5.) keine Aussagen 1-4 sind richtig

Danke für deine Hilfe, Grüße aus NF
Mike
Leo on September 21st, 2009 17:12

einfach klasse! super erklärt und endlich hab ichs verstanden =)
Olaf on Juni 22nd, 2009 12:30

Hi Alex,
das ist absolut korrekt so!
LG
OLaf
Alex on Juni 19th, 2009 17:05

Hallo Olaf,

ich habe eine kurze Frage.

Ich würde gerne wissen ob, AB und AC im Dreieck ABC orthogonal sind.

Dreieck:

Pkt A (2/6/1)

Pkt B (6/8/4)

Pkt C (3/4/1)

AB = (4/2/3)

AC = (1/-2/0)

Also muss gelten:

4*1+2*(-2) +3*0 = 0

4 – 4 = 0

Kann ich so schlussfolgern, dass AB und AC orthogonal zu einander sind?

mfg
Alex

PS: Super Videos !
A'burgA'block on Juni 3rd, 2009 22:51

bester mann olaf!!! schön, dass es noch so leute wie dich gibt … mach weiter so
blabla on Mai 11th, 2009 16:04

süsses Lachen !!!
Zoran on Mai 10th, 2009 15:56

hallo olaf!

du bist einfach der beste!!!

mit hilfe des Determinatenverfahren kann man die unbekannte Vektorkoordinate bestimmen und wenn man die dann hat, kann man durch lösen eines überbestimmten Gleichungssystems (drei gleichungen, 2 unbekannte) die skalaren Faktoren bestimmen.

habe vielen dank für diese beiden Videos!!!!!
Yousef on März 24th, 2009 18:30

Danke Olaf habs verstanden
Olaf on März 24th, 2009 10:30

Hi Yousef,
drei Vektoren sind immer dann von einander abhängig, wenn gilt:
t*a-Vektor+r*b-Vektor+s*c-Vektor=0
Allerdings muss bei der Rechnung einer der drei Faktoren t, r oder s ungleich Null sein, ansonsten nennt man die Lösung “trivial”
Das Gleichungssystem muss lösbar sein, damit die Vektoren abhängig sind.
Wenn das Gleichungssystem nicht lösbar ist, dann sind sie nicht abhängig, sondern unabhängig.
LG
OLaf
Yousef on März 23rd, 2009 20:17

Also Olaf

Meine frage bezieht sich auf wonach man es ( nach dem lgs ) rausfindet ob es linear A. oder linear ua. ist?

D.H ich stelle ein LGS und hab verschiedene Lösungen …Woran kann ichs erkennen was was ist? Ich hoffe du verstehst was ich meine
Olaf on März 18th, 2009 17:47

Yo MC,
da hast Du natürlich recht, steht auch schon über dem Vide! Trotzdem Danke !!
LG
OLaf
MC on März 18th, 2009 17:16

Bei Lösung muss doch für alpha -6 als Ergebnis rauskommen oder?

- alpha - 6 = 0 / + alpha

- 6 = alpha
Olaf on März 17th, 2009 14:29

Hi Yousef,
wo liegt da für Dich die Schwierigkeit?
Ich frage nach, weil ich aus der Fragen nicht genau erkennen kann, was genau Du nicht verstehst.
Wär gut, wenn Du das noch mal genauer schreiben könntest…
LG
OLaf
Yousef on März 15th, 2009 16:11

Hi Olaf,

ich versteh leider garnicht den unterschied zwischen linearabhängig und linearunabhängig…
Wäre echt nett, wenn du mir da helfen könntest

Danke
Olaf on September 29th, 2008 15:34

Hi Roland,
tut mir leid, dass ich erst so spät antworte, da bist Du mir durchgerutscht…
Also:
Zeige, dass die Vektoren v1: (1/2)*(1 1 2), v2: (1/Wurzel2)*(-1 1 0) und v3: (1/Wurzel27)*(3 3 -3) eine Orthonormalbasis des R3 darstellen.
Das war das, was ich vermutet hatte.
Der Faktor vor den Vektoren normiert diese auf eine Einheit Länge.
Jetzt machst Du das Skalarprodukt von jeder Zweierpaarung von Vektoren und wenn überall Null rauskommt, kannst Du sagen, dass das eine Orthonormalbasis ist.
Edit: Jetzt hab ich grad noch mal geschaut: Die hier angegebenen Vektoren sind nicht auf eine Einheit normiert…der erste zumindest nicht, der müsste 1/wurzel 5 lang sein, damits ottonormal ist
LG
OLaf
P.S.: Ich werd dazu auch noch ein Video machen, wird aber ein wenig dauern…
Roland on September 26th, 2008 17:24

Habe leider keinen Scanner zur Hand.

Deswegen hier einfach mal so die Aufgabe:

Zeige, dass die Vektoren v1: (1/2)*(1 1 2), v2: (1/Wurzel2)*(-1 1 0) und v3: (1/Wurzel27)*(3 3 -3) eine Orthonormalbasis des R3 darstellen.
Olaf on September 26th, 2008 13:16

Hi Roland,
kannst Du mir die Geschichte evtl. aufschreiben und als Scan per Mail an olafhinrichsen@oberprima.com schicken - ich hab zwar ne Ahnung, was Du machen sollst, aber es wäre einfacher für mich, wenn ich die Originalaufgabe mal sehen könnte
LG
OLaf
P.S.: r kann ja auch einfach der Faktor sein, der mit dem Vektor multipliziert den Vektor auf die Länge 1 normiert… z.B. für Vektor (3|4|5) - r=1/wurzel50
Roland on September 26th, 2008 11:45

Hallo Olaf,

danke nochmals für deine Antwort!
Jetzt stehen wir allerdings vor dem nächsten Problem und somit vor einer anderen Frage:

Wenn man 3 Vektoren gegeben hat und zeigen soll, dass diese eine Orthonormalbasis bilden, dann ist der erste Schritt zu prüfen, ob alle 3 Vektoren orthogonal zueinander sind. Ist dies der Fall, muss man sie normieren und prüfen ob dann der normierte Basisvektor b1*b1=1 ergibt. Die Vektoren sind mit der Form r*(x1 x2 x3) usw gegeben. D.h. vor dem Vektor steht eine “Zahl” die wohl die länge darstellen soll.

Das Problem an der ganzen Sache: Muss man dabei die länge des Vektors bei den ganzen oben genannten Schritten beachten? Wenn wir die Länge nämlich reinmultiplizieren, kommen wir auf ein falsches Ergebnis.

Viele Grüße
Roland
Olaf on September 24th, 2008 15:46

Hallo Roland,

Wenn 2 oder mehrere Vektoren orthogonal zueinander sind, also Skalarprodukt = 0, sind sie dann auch linear unabhängig?
Ja, wenn Du sie in die Gleichung wie in dem Video einbaust, kannst Du nicht auf ein sinnvolles Ergebnis kommen.
Wenn man eine orthogonal Basis bilden möchte, dann müsste man für die Basis nicht noch zusätzlich zeigen, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sind.
Da gehe ich von aus, weil x-y-z-Achse bilden ja jeweils einen rechten Winkel miteinander und die kriege ich niemals in die Gleichung, also auch jede andere Basis nicht…
LG
OLaf
Roland on September 24th, 2008 12:03

Hallo Olaf,
nochmal eine andere Frage:

Wenn 2 oder mehrere Vektoren orthogonal zueinander sind, also Skalarprodukt = 0, sind sie dann auch linear unabhängig? Wenn man eine orthogonal Basis bilden möchte, dann müsste man für die Basis nicht noch zusätzlich zeigen, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sind.

LG
Roland
Olaf on September 23rd, 2008 18:05

Hi Roland,
ja, da hast Du recht. entweder Du schreibst:
Vektor a + r mal Vektor b=0
oder Du machst das wie in diesem Video: http://tinyurl.com/3oq7ab bei der Überprüfung der Kollinearität der Richtungsvektoren…
LG
OLaf
Roland on September 23rd, 2008 17:53

Danke für deine Antwort.

Allerdings bekommt man manchmal aber auch nur 2 Vektoren und muss prüfen ob diese linear abhängig sind.

Löst man, wenn ich mich nicht täusche, mit Hilfe des Nullvektors.

Aber deine Antwort hat schon geholfen!

LG
Roland
Olaf on September 23rd, 2008 17:06

Hi Roland,
man kriegt ja immer drei Vektoren auf den Tisch gelegt und soll dann schauen, ob die linear abhängig oder unabhängig sind. Dann prüft man das so wie im Video und fertig, würde ich sagen.
Ansonsten klingt es für mich auch gut, dass wenn sie linear abhängig sind, dann können sie als Linearkombination dargestellt werden und wenn die Vektoren als Linearkombination darstellbar sind, heißen sie linear abhängig.
Hoffe, das hilft Dir
LG
OLaf
Roland on September 23rd, 2008 16:18

Hallo Olaf,

heißt das nun auch, dass alle linear abhängigen Vektoren auch als Linearkombination darstellbar sind? Oder anders rum?
Olaf on September 18th, 2008 17:50

Vielen Dank, Markus - Du darfst das mit dem Weg sagen, wenn ich das sagen würde käm’s mir wie eine faule Ausrede vor!
Aber ich lass es vorläufig mal drin, bis mir jemand sagt, dass er oder sie durch diesen Fehler total rausgebracht wird
LG
OLaf
Markus on September 18th, 2008 17:18

Kleiner Fehlerteufel in Minute 2. Alpha ist -6 und nicht 6….aber der Weg ist entscheidend