Abstand berechnen

Abstand Punkt Gerade

Abstand Punkt Gerade Vektoren 1

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Abstand Punkt Gerade Vektoren 2

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Abstand Punkt Gerade Vektoren 3

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Abstand Punkt Gerade Vektorprodukt

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Abstand Punkt Vektorgerade ohne Normalenvektor

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Abstand parallele Geraden

Abstand paralleler Ebenen

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Abstand parallele Vektorgeraden mit Hilfsebenen 1 Schema

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Abstand parallele Vektorgeraden mit Hilfsebenen 2 Rechnung

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Abstand paralleler Geraden Formel Beispiele

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Abstand paralleler Geraden Formel herleiten

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Abstand windschiefe Geraden

Koordinaten Abstand windschiefe Geraden

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Punkte mit geringstem Abstand auf windschiefen Geraden Schema

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Punkte mit geringstem Abstand auf windschiefen Geraden Beispiel 1

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Punkte mit geringstem Abstand auf windschiefen Geraden Beispiel 2 Klausurstyle

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Abstand windschiefe Geraden ohne HNF Schema

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Abstand windschiefe Geraden ohne HNF Beispiel

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Lotfußpunktverfahren

Abstand Punkt Ebene Lotfußpunktverfahren

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Hessesche Normalform

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Abstand Punkt Ebene

Abstand Punkt Ebene Lotfußpunktverfahren

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Abstand mit Hessescher Normalform bestimmen

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Hessesche Normalform

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Wieso kann die Hessesche Normalform den Abstand berechnen

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Herleitung: Abstand Punkt – Ebene

Herleitung: Abstand Punkt Ebene

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Herleitung: Abstand Punkt Ebene 2/3

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Herleitung: Abstand Punkt Ebene 3/3

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Abstände in der analytischen Geometrie berechnen

Abstände in der Vektorrechnung kommen zwischen allen „Entitäten“, also Punkten, Geraden und Ebenen vor. Die wichtigsten Abstände in einer Sammlung von Videolinks findest Du auf dieser Seite geordnet – damit bei den Klausuren und Prüfungsteilen über Abstandsberechnungen alles gut läuft.

Die einfacheren Berechnungen sind die Abstände von zwei Punkten. Darauf lassen sich auch die Abstandsberechnungen von Punkt und Ebene und von Gerade und Ebene zurück führen.

Abstand von Punkten

und Punkten

  • Herleitung Abstand von zwei Punkten in 2D
  • Abstand von zwei Punkten im Dreidimensionalen
  • Herleitung der Formel für den Abstand von zwei Punkten in 3D
  • Punkt mit Abstand bestimmen

auf Geraden:

  • Punkt mit festgelegtem Abstand auf Gerade bestimmen Vektorrechnung
  • Punkte mit festgelegtem Abstand auf Gerade berechnen
  • Bestimmen Sie die Punkte auf der Gerade, die einen bestimmten Abstand zu einem Punkt haben

und Geraden

  • Abstand Punkt Gerade
  • Kleinster Abstand Ursprung und Gerade (Parameterform – Normalform)

und Ebenen

  • siehe bei Abstand von Ebene und Punkt

Abstand von Geraden und Punkten berechnen

  • siehe bei Abstand von Punkt und Gerade

Abstand von Geraden und Geraden berechnen

  • Abstand Vektor-Gerade und Punkt ohne Normalenform
  • Abstand paralleler Vektorgeraden
  • Abstand windschiefe Geraden Vektorrechnung
  • Abstand windschiefe Geraden ohne Hessesche Normalform
  • Punkte mit geringstem Abstand auf windschiefen Geraden

Abstand von Geraden und Ebenen

  • siehe bei Abstand von Ebenen und Geraden

Abstand von Ebenen und Punkten

  • Lotfußpunktverfahren
  • Abstand mit Hessescher Normalform

Abstand von Ebenen und Geraden

Den Abstand einer parallelen Geraden zu einer Ebene bestimmt man genauso wie den Abstand von einem Punkt zu der Ebene, denn auf einer zu einer Ebene parallelen Geraden sind alle Punkte gleich weit weg von der Ebene, haben also alle denselben Abstand. Tipp: nimm am besten den Ortsvektor von der Geraden 😉

Der Abstand von Ebene und Geraden macht nur dann Sinn, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft. Schneiden sich die Geraden ist der kürzeste Abstand am Schnittpunkt gleich Null und wenn die Gerade in der Ebene verläuft, dann ist der Abstand immer Null.

Abstand von Ebenen und Ebenen

  • ABI 3A Vektoren f Ebene mit gleichem Abstand konstruieren

Das war dann erst mal alles zum Thema Abstand in der analytischen Geometrie – alle Lücken geschlossen?

DerAbstand von einem Punkt zu einer vektoriellen Geradesoll bestimmt werden. Dazu habe ich ein schematisches Video, ein Rechenvideo und ein grafisches Video gemacht – und ganz zum Schluss kommt eine Spezialtechnik zum Einsatz.

Aus dem Video Abstand Punkt Gerade

Um den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen zu können benötigt man zunächst einen Punkt und eine Gerade, die einen Parameter enthält.
Danach wird aus dem bestehenden Punkt und dem Richtungsvektor der Geraden eine Hilfseben E aufgestellt. Zur weiteren Bearbeitung wird die Normalenform in eine Koordinatenform umgebildet. Diese ist zur weiteren Rechnung viel einfacher zu verwenden als die Normalenform.

Aufstellung der Ebene und der Koordinatenform
In die Normalenform

Normalenform Ebene

werden die gegebene Werte eingesetzt.
Diese Normalenform kann dann durch das Ablesen von der obersten Zeile bis zur untersten als Koordinatenform geschrieben werden, wobei der Vektor x die Koordinaten x, y und z aufweist. In diese Koordinatenform wird dann lediglich der Punkt in die Variablen x, y und z eingesetzt. Das Ergebnis dieser Rechnung ist für die weitere Rechnung sehr wichtig und sollte notiert werden.

Einsetzen der Gerade in die Ebene in Koordinatenform
Nach der Errechnung der Koordinatenform wird die gegebene Gearde in seine einzelnen Koordinaten x, y und z aufgelöst. Dies geschieht indem man für x die gerade an der ersten Zeile komplett abschreibt. Dies wird auch für die y und z Zeile getan. Somit erhält man dann drei kleine Zeilen, die in die passenden Stellen der Ebene in Korrdinatenform eingesetzt werden kann. Nach dem Einsetzten kann ein eindeutiger Wert für den Parameter r ausgerechnet werden.

Was tun mit dem Parameter r?
Das errechnete „r“ kann danach einfach in die Gerade eingesetzt werden. Hierdurch entsteht ein Schnittpunkt der Normalen und der gegebenen Gerade. Dieser Schnittpunkt ermöglicht es jetzt den Abstand zwischen der Geraden und dem Punkt zu berechnen.
Mit dem Betrag kann dann der Abstand zwischen der Gerade und dem Punkt errechnet werden.

Lotfußpunktverfahren Video 1

Neben der Hessischen Normalenform und der Koordinatenform gibt es noch eine weitere Möglichkeit den Abstand zwischen Punkt und Ebene zu bestimmen. Dies gelingt mithilfe des Lotfußpunktes.

Uebersicht_Lotfusspunktverfahren

In unserem Beispiel haben wir eine Ebene in Normalenform gegeben. Wie wir z.B. die Parameterform ganz leicht in die Normalenform umwandeln können, findet ihr in anderen Basisvideos.

Lotfusspunktverfahren_Beispiel_eine_Ebene_und_ein_Punkt

Jetzt können wir uns das so vorstellen, dass wir eine Ebene gegeben haben und einen Punkt der außerhalb der Ebene liegt. Was wir aber schon wissen ist, dass der Normalenvektor immer orthogonal zur Ebene liegt. Das würde bedeuten, dass wir jetzt eine Gerade bilden müssten, die senkrecht die Ebene durchstößt und den Punkt A enthält. Wir nutzen also den Punkt A als Ortsvektor der Gerade und den Normalenvektor als Richtungsvektor und erhalten:

Die_Lotgerade_Lotfusspunktverfahren

Im nächsten Schritt müssen wir nun die Ebene und die Geraden schneiden lassen. Das gelingt uns, indem wir den kompletten Term der Geraden für das Vektor X in die Hessische Normalenform einsetzten:

Immer wenn wir etwas einsetzen lassen wir die Bezeichnungen E und g weg, sodass nur noch folgendes aufgeschrieben werden muss:

Einsetzen_g_in_E_Lotfusspunktverfahren

Dabei haben wir nun drei Möglichkeiten, die rauskommen können. Entweder wir bekommen nichts für r raus, beispielsweise 9 = 9 oder 9 = 8 oder 9 = 0. In solchen Fällen sind die Geraden parallel zueinander. Bekommen wir jedoch etwas für r raus, meinetwegen r = 4, müssten wir r = 4 wieder in unsere Geradengleichung einsetzen und bekämen dann einen Schnittpunkt raus, den wir F nennen können. Das ist nun unser Lotfußpunkt. Jetzt können wir die Strecke zwischen A und F ausrechnen, also den Abstand zwischen den beiden Punkten.

Das aber nur nebenbei, wir wollen nun unsere Aufgabe weiter rechnen:

Lotfusspunktverfahren_Einsetzen_der_Geraden_in_die_Ebene_und_Ausmultiplizieren

Wir sehen sofort, dass das r sich nicht auflösen wird, sodass wir einen Schnittpunkt rausbekommen werden.

Diese -2/5 setzten wir nun in unsere Geradengleichung ein:

Lotfusspunktverfahren_Einsetzen_von_r_in_die_Geraden

Wenn wir das nun ausgerechnet haben kommt folgender Punkt raus:

Der_Fusspunkt_des_Lots_Beispiel_Lotfusspunktverfahren

Das ist nun unser Lotfußpunkt. Nun müssen wir den Abstand zwischen dem Lotfußpunkt F und dem Punkt A bestimmen. Das geht indem wir den Betrag des Vektors AF oder FA berechnen, das ist völlig egal.

Abstand_berechnen_mit_dem_Lotfusspunktverfahren

Der Betrag eins Vektors ist immer die Wurzel aus den einzelnen Koordinaten zum Quadrat.

Lotfußpunktverfahren: Hessesche Normalenform, Video 2

In diesem Video geht es um die Hessesche Normalenform, die wir aus der Normalenform entwickeln wollen. Wir wir aus drei Punkten zur Normalenform kommen, findet ihr in anderen Videos.

Folgende Gleichung in Normalenform haben wir gegeben:

Der Normalenvektor ist ( 0 / 2 / 4 ), dieser hat einen bestimmten Betrag.

Die Hessische Normalenform unterscheidet sich von der Normalenform, indem sie einen Einheitsvektor hat, d.h die Länge des Normalenvektors ist eine Einheit lang oder anders gesagt: Ihr Betrag ist 1.

Um kurz zu verdeutlichen wie man einen Betrag des Vektors ausrechnet nehmen wir den Vektor ( 1 / 2 / 3 ) als Beispiel:

Betrag eines Vektors

Das ist die Länge des Vektors. Wenn wir nun den Vektor ( 1 / 2 / 3 ) auf 1 Normieren wollen, ist das die beste Möglichkeit:

Ein normierter Vektor

Jetzt wissen wir wie wir aus einem Vektor einen Vektor, der auf 1 normiert ist, bilden.

Das ist schon das ganze Geheimnis und wir können nun zu unserer Ausgangsaufgabe zurückkehren:

Vektorbetrag einer Aufgabe

Deswegen lautet unsere Hessesche Normalenform (HNF) nun:

Diese Hessesche Normalenform können wir auch in Koordinatenform schreiben.

Dazu bilden wir erstmal die Koordinatenform der Normalenform:

E: 2y – 4z = -4

In Hessischer Normalenform sieht das ganze so aus:

Hessesche Koordinatenform

Jetzt haben wir die beiden Normalenformen und können nun den Abstand zu einem Beispielpunkt errechnen, den wir nun als A ( 3 / 2 / 0 ) bezeichnen.

Den können wir nun in beide Gleichungen einsetzen, um den Abstand herauszubekommen:

Abstand Berechnung Vektoren konkret Punkt

oder

Abstand Berechnung Koordinatenform

d = 1,78

Einmal zum Anfang zurückkehren, da eigentlich etwas ganz anderes gefragt war:

E: [ Vektor x – ( 9 / 4 / -3 ) ] * ( 0 / 2 / 4 ) = 0

Daraus haben wir nun die Hessesche Normalenform gebildet, sodass rauskam:

E: [ Vektor x – ( 9 / 4 / -3 ) ] * 1/v20 * ( 0 / 2 / 4 ) = 0

Die Aufgabe nun lautet, dass der Punkt A ( 3 / a / 0 ) den Abstand d = 5 haben soll.

Abstand mit Parameter

zweiter SChritt mit Parameter

In KOF

Nun multiplizieren wir das ganze aus und lösen den Term (das sollte euch bereits bekannt sein, wenn nicht gibt es auch Videos dazu).

Das Ergebnis lautet: a = – 1,18