Baumdiagramme

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Möglichkeiten mit Baumdiagramm darstellen

Ergebnismengen mit Baumdiagramm

Ergebnismengen mit Baumdiagramm 2

Ergebnismengen mit Baumdiagramm 3

Vierfeldtafel Baumdiagramm und umgekehrtes Baumdiagramm

Satz von Bayes mit Baumdiagramm

Unabhängige Ereignisse stochastische Unabhängigkeit mit Baum und inversem Baum

Mehrstufige Zufallsversuche

Mehrstufige Zufallsversuche Basisvideo

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 1

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 2

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 3

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 3.2

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 3.3

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 4

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 5

Mehrstufige Zufallsversuche Serie 1 Teil 6

Reduziertes Baumdiagramm

Inverses Baumdiagramm

Unabhängige Ereignisse stochastische Unabhängigkeit mit Baum und inversem Baum

Verknüpfte Ereignisse Verknüpfung

Summenregel Additionsregel für verknüpfte Ereignisse

Summenregel Additionsregel für verknüpfte Ereignisse2

Summenregel Additionsregel für verknüpfte Ereignisse3

Summenregel Additionsregel für verknüpfte Ereignisse4

Stochastik Vokabeln 5 Verknüpfung von Ereignissen

Wahrscheinlichkeit von verknüpften Ereignissen Utopistan 1

Wahrscheinlichkeit von verknüpften Ereignissen Utopistan 2

Ziehen mit und ohne zurücklegen

Ziehen mit Zurücklegen – Herleitung

Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen 2

Stochastik Ziehen ohne Zurücklegen ungeordnet

Ziehen ohne Zurücklegen ungeordnet

Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Lotto

Baumdiagramme-Videos

Baumdiagramme kommen regelmäßig zur Anschauung und Darstellung von mehrstufigen Zufallsversuchen vor. Zum Beispiel wird eine Münze oder ein Würfel mehrfach geworfen – dazu hier auch das

Baumdiagramme Videos Übersicht

Weiter mit der Darstellung durch Baumdiagramme: Ergebnismengen lassen sich mit einem Baumdiagramm darstellen, dass heißt, welche Ergebnisse kann man bei mehrmaligem Durchführen eines Zufallsversuchs eigentlich am Ende rauskriegen?

Dann gibt es ja auch noch die Möglichkeit, Möglichkeiten mit Baumdiagrammen dar zu stellen. Also wie viele Möglichkeiten gibt es, bei 4 mal Ziehen 2 schwarze Kugeln zu ziehen (nur zum Beispiel…)

Baumdiagramm ohne Zurücklegen , bei dem man am Anfang unbedingt immer darauf achten muss, dass der Nenner pro Zug immer „um einen kleiner“ wird.

Das Reduziertes Baumdiagramm ist immer dann sinnvoll, wenn der „volle Baum“ zu groß würde und wir uns nur für einen oder ein paar Pfade des Baums interessieren.

Die Vierfeldtafel kommt am besten zum Einsatz, wenn es „zwei Gruppen von „Merkmalsträgern“ mit Merkmalen in zwei „Ausprägungen““ in der Aufgabe gibt – oder, wem das zu allgemein war, wenn wir Frauen und Männer haben, die entweder ne Brille haben oder nicht.

Solche eine Tafel aus Daten findest Du in diesen Videos .

Man kann natürlich auch eine 32 Felder Tafel haben , wie bei der beliebten Skataufgabe, bei der nur nie bedacht wurde, dass kaum noch jemand Skat spielt…

Alles, was mit dem Urnenmodell abgebildet werden kann, kann man auch mit Bäumen darstellen.

Hier direkt noch ein Link zu einer Urne mit Kugeln mit und ohne Zurücklegen.

Was ganz besonderes ist das Inverse Baumdiagramm , bei dem die Reihenfolge der Ereignisse umgekehrt wird. Das kann mit ner Vierfeldtafel ziemlich zügig gemalt werden und hilft einem bei AUfgaben zum diesem Thema:

Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes

Stochastik Formel von Bayes mit Baumdiagramm

Bei Fragestellungen zur stochastischen Unabhängigkeit sollst Du Werte aus dem Baumdiagramm miteinander vergleichen und dann nach auswendig gelerntem Wissen interpretieren: abhängig oder unabhängig?

Mehrstufige Zufallsversuche

Das Basisvideo zu mehrstufigen Zufallsversuchen widmet sich Beispielen zu Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen, der Darstellung von mehrstufigen Zufallsversuchen sowie der ersten und zweiten Pfadregel an Hand von Baumdiagrammen. Am Schluss noch etwas zur Wahrscheinlichkeitsverteilung, die am Baumdiagramm ablesbar ist.

Aus dem Video Basiswissen zu mehrstufigen Zufallsversuchen

Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen (ZMZ)

Bei mehrstufigen Zufallsversuchen wird häufig auf das Basisbeispiel mit der Urne zurückgegriffen. Die Urne ist ein Gefäß in der sich Kugeln befinden welche verschieden belegt sind. Beim Ziehen mit Zurücklegen bedeutet das, dass nachdem aus der Urne eine Kugel entnommen wurde diese wieder zurückgelegt wird bevor erneut gezogen wird.

Befinden sich also in der Urne sechs Kugeln welche mit den Zahlen eins bis sechs beschriftet sind so wird die Kugel, nachdem sie gezogen wurde, wieder hinein getan. Es ist auch möglich sich einen Würfel oder eine Münze vorzustellen die mehrmals geworfen wird. Hierbei handelt es ich um sogenannte Laplace-Experimente.

Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen (ZOZ)

Beim Ziehen ohne Zurücklegen wird die Kugel, welche gezogen wurde, entfernt und nimmt somit nicht an der zweiten Ziehung teil. Wenn zum Beispiel Personen für verschiedene Positionen ausgewählt werden sollen (Vorsitzender, Stellvertreter o. Ä.), so wird der gezogene Name nicht zurückgelegt, damit diese Person nicht für mehrere Positionen ausgewählt wird (in diesem Beispiel: Vorsitzender und Stellvertreter wird).

Darstellung im Baumdiagramm (am Beispiel des Münzwurfes):

Das Baumdiagramm hat einen Startpunkt von dem die zwei Möglichkeiten, in unserem Fall „Wappen“ oder „Zahl“, abzweigen. Die Wahrscheinlichkeit „Wappen“ oder „Zahl“ zu werfen liegt bei jeweils ½, möglich ist es auch 0,5 zu schreiben (eine weitere Möglichkeit wäre .5 – fragt besser bei eurem Lehrer nach welche Schreibweise gewünscht wird) . Nach dem ersten Wurf ist es möglich die Münze noch einmal zu werfen, in diesem Fall wird das Baumdiagramm um eine Stufe erweitert, von beiden Ereignissen „Wappen“ und „Zahl“ ist es wieder möglich „Wappen“ oder „Zahl“ zu werfen, jeweils wieder mit einer Wahrscheinlichkeit von ½.

Pfadregel (Multiplikation)

Bei der ersten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eine Elementarereignisses das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades. In unserem Beispiel sind die Elementarereignisse „WW“ („Wappen“ – „Wappen“), „WZ“ („Wappen“ – „Zahl“), „ZW“ und „ZZ“. Die Wahrscheinlichkeit das zweimal Wappen geworfen wird ist also P(WW)= ½ * ½ = ¼ oder 25 %. Die Wahrscheinlichkeiten von P(WZ), P(ZW) und P(ZZ) liegen übrigens auch bei ¼.

Pfadregel (Addition)

Die 2. Pfadregel besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der, des Ereignis zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. Das Ereignis das bei beiden Würfen das gleiche geworfen wird besteht also aus den Pfadwahrscheinlichkeiten P(WW) und P(ZZ). P(WW)+P(ZZ)= ¼ + ¼ = ½.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann tabellarisch dargestellt werden:

e1 WW WZ ZW ZZ

P ¼ ¼ ¼ ¼

oder in einem Säulendiagramm.

Viele der Videos zur Stochastik/Wahrscheinlichkeitsrechnung basieren auf der großartigen Aufgabensammlung von Herrn Brinkmann, die Du hier verlinkt findest.

Ziehen aus einer Urne mit zurücklegen, ziehen ohne zurücklegen ist an sich noch für nachvollziehbar, aber wenn dann die Begriffe geordnete Stichprobe und ungeordnete Stichprobe, bzw. unter Beachtung der Reihenfolge und ohne diese Beachtung der Reihenfolge auftreten, dann muss das im Kopf meist gut sortiert werden, damit es nicht in der Klausur durcheinander gerät. Dazu die folgenden Erklärungen in den Videos.

Aus dem Video Geordnete Stichprobe ohne zurücklegen

Es wird eine Urne mit vier Kugeln wird dargestellt. Die Farben Rot, Grün, Blau und Gelb zieren die Kugeln. Die Kugeln sollen ohne Zurücklegen in Kasten gelegt werden. Das bedeutet, dass man die Kugel nach dem Ziehen auch aus der Urne lässt. So ergeben sich für dieses Modell vier Stufen. Es stellt sich nun die Frage wie viel Möglichkeiten es in diesem Modell ergeben. Dazu bedient man sich eines Wahrscheinlichkeitsbaumes. Auf der ersten Stufe des Wahrscheinlichkeitsbaumes ergeben sich vier Pfade. Daraufhin folgen an jedem Pfad, also nach dem ersten Zug, nur noch drei Möglichkeiten und in einem dritten Schritt nur noch zwei Möglichkeiten. Auf der vierten Stufe bleibt dann nur noch eine Möglichkeit für das Ziehen einer Kugel. Anders ausgedrückt findet man auf der ersten Stufe vier Möglichkeiten, auf der zweiten Stufe vier minus eins, auf der dritten Stufe 4 minus zwei und auf der vierten Stufe vier minus drei. Die Ergebnisse multipliziert ergeben die Möglichkeiten für den ersten Pfad. Natürlich will man aber auch alle Möglichkeiten herausbekommen und somit alle Pfade betrachten. Die Multiplikation ergibt insgesamt 24 Möglichkeiten.

Sucht man nach einer Gesetzmassigkeit, betrachtet man k und n, die in diesem Fall drei und vier sind. Aber natürlich können auch andere Zahlen auftreten. Dabei geht es aber immer auch von der Zahl der Kugeln bis zur Eins runter. Damit ergibt sich die Formel n mal n minus 1 mal n minus 2 mal n minus k plus 1. Es gibt allerdings auch einen Sonderfall: Wenn n gleich k, dann berechnet man die Möglichkeiten mit n Fakultät. Dies ist ein Produkt, bei dem jeder Folgefaktor um eins erniedrigt wird. Die Form kann man auch noch verkürzen. indem man schreibt n Fakultät geteilt durch n minus k. Die Frage nach der Anzahl der k-Tupel, die in einer n Fakultät zu finden sind, wirft sich auf.