Ebene Parameterform in Normalenform

ABI 3A a

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Umwandlung Ebene Punktrichtungsgleichung Normalenform

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Umwandlung Parameterform in Normalenform

Eine Aufgabe, wie sie in vielen Klausuren zur Vektorrechnung vorkommt:
Wir werden die Aufgabe nun mit der Gleichung

E:X-Vektor = (4/7/-1) + r (4/-16/-4) + s (5/0/5) lösen.

Bei der unteren Ebene E: (X-Vektor – (4/7/-1)) * (2/1/-2) = 0 kann man etwas erkennen.

In der oberen Gleichung steht : E: 2x + y – 2z  als normalen Vektor.

Man kann eine Ebene in Koordinatenform nämlich auch als Ebene in Normalenform schreiben.

Das heißt für die Gleichung, wir haben (2x/1y/-2z), in der Orientierung ist diese Gleichung also gleich.

Wenn wir uns nun eine Ebene in Normalenform vorstellen auf der ein Stift steht und unter dieser Ebene ist ein zweiter Stift, der auch auf dieser Ebene steht. Dann kann man sagen das diese beiden Stifte mindestens parallel sind, weil die normalen Vektoren kollinear sind.

Das ganze kann man auch verbal aufschreiben.

Die nächste Frage ist, wann diese denn identisch sind:

In diesem Fall ist es so, dass die Ebenen dann identisch sind, wenn beide als Ergebnis die Zahl 5 haben.

Auf diese Zahl kommen wir indem wir den normalen Vektor mit dem Ortsvektor ausmultiplizieren.

Hinweis zum ersten Video bei ca 1:35 – da wird am Ende (-1)*(-2)=+3, was natürlich Quatsch ist Richtig wäre es so: 8+7+2 ist auf jeden Fall ungleich der 5 und dementsprechend sind die beiden parallel.