Erwartungswert Varianz Standardabweichung

Erwartungswert Varianz und Standardabweichung

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Erwartungswert

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Erwartungswert ZOZ

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Verschiebungssatz der Varianz

Verschiebungssatz herleiten

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Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Erwartungswert Varianz und Standardabweichung sind drei Werte, die sich für eine Binomialverteilung recht zügig berechnen lassen, wenn wir n und p kennen. Dazu kommen noch ein paar flankierende Mathe-Vokabeln:

In dem Video geht es um die Berechnung von Erwartungswert, Varianz und der Standardabweichung. Das wird anhand eines Beispiels mit sechsmaligem Münzwurf verdeutlicht.

n (Anzahl der Würfe) ist hier also 6 Mal.

Die Wahrscheinlichkeit ein Wappen zu erzielen beträgt 0.5, also p = 0,5.

Durch einfache Formeln lassen sich Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung errechnen.

Der Erwartungswert E(x) wird auch µ (müh) genannt.

Mit folgender Formel wird er berechnet: n x p = 6 x 0,5 = 3.

Wenn also sechs mal gewürfelt wird, erwartet man im Mittel drei Mal das Ereignis „Wappen“.

Die Varianz (x) wird folgendermaßen berechnet: n x p x (1-p) = 6 x 0,5 x 0,5 = 1,5.

Die Standardabweichung ist ein Maß der Streuung für die Zufallsvariable und wird Simga (?) genannt.

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz, also ?(6 x 0,5 x 0,5) oder kurz ?1,5. Das ergibt ~ 1,22.

Man erhält eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert drei.

Die anderen Werte (1,2,4,5,6) verteilen sich gleichmäßig rechts und links vom Erwartungswert.

Die Glockenkurve könnte theoretisch auch anders aussehen mit einer rechts- oder linksschiefen Verteilung. Sie könnte auch insgesamt steiler ausfallen. Die Fläche ergibt immer insgesamt 1.

Am Schluss gebe ich noch entsprechende Beispiele zu den möglichen Verteilungen und was das im Zusammenhang mit der Streuung bedeutet.

Eine Anwendung des Erwartungswertes dinfdest Du im Beitrag „Faires Spiel“ .

Je weiter die Kurve nach links und rechts „aufgeht“, desto größer ist die Streuung. Wer sich dazu weitere Beispiele anschauen will, dem sei gesagt, dass sich dazu mehr Bilder bei Herrn Brinkmann finden.

Zur Aufgabe zu dem Video.

Der Erwartungswert

Der Erwartungswert ist eine Kennziffer, die uns sagt, mit welchem Ergebnis für die Zufallsvariable X pro Spiel rechnen, bzw. welches durchschnittliche Ergebnis wir erwarten. Dazu zwei Videos – eins zum Ziehen mit und eins zum Ziehen ohne Zurücklegen:

Wenn man den Erwartungswert berechnet hat, dann folgen in der Binomialverteilung , gerade auch wenn es um die Themen
Normalverteilung und Varianz und Standardabweichung geht – wie das dann geht, siehst Du, wenn der Klick angeht 😉

Hier also Ziehen mit Zurücklegen:

und hier dann Ziehen ohne Zurücklegen:

Und hier eine Anwendung: Das faire Spiel!