Extrema

Extrema und Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel

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Kurvendiskussion ganzrational 1 Extrema

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Abi 2007 2A b Exponentialfunktion Extrema

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Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

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Ortskurve der Extrema

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Ortskurve der Extrema Spezial

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Kurvendiskussion Exponentialfunktion Extrema

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Kurvendiskussion ganzrationale Funktionsschar dritten Grades Extrema

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Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktion Extrema

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Kurvendiskussion gebrochen-rational Extrema

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Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Teil 4 Extrema

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ABI 2B a 1 definitionsbereich Nullstellen Extrema

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ABI 2B a 1 Extrema

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Extrema 2sinx -2sin(2x)

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Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

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Extrema Sinus x drittel minus dreihalbe pi und Skizze ohne Wertetabelle

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Kurvenschar Für welches t sind Extrema vorhanden

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Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 1

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Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 2 y-Wert

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Gebrochenrationale Funktionsschar Extrema

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Extrema ln-Funktion Funktionsschar

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Extremalaufgabe Blechbehälter

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Extremalaufgabe Coladose Volumen Oberfläche

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Extremalaufgabe Dreiecksgrundstück Variante 2

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Extremalaufgabe Spezial

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Ganzrationale Funktion ohne Extrema bestimmen Rekonstruktion

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Rekonstruktion GRF3 ohne Extrema mit 4 Termen

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Grafisches Ableiten ohne Extrema 1

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Grafisches Ableiten ohne Extrema 2

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Grafisches Ableiten ohne Extrema 3

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Ortskurve Extrempunke Wendepunkt

Ortskurve der Extrema

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Ortskurve der Extrema Spezial

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Ortslinie der Tiefpunkte ganzrationale Kurvenschar

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Kurzversion Ortslinie der Wendepunkte

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Aufgabe 1g Ortskurve der Tiefpunkte Parameteraufgaben Differential- und Integralrechnung

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Extrempunkte

Hochpunkt Tiefpunkt

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Extrema und Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel

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Tangente an den Hochpunkt von f und Skizze

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Kurvendiskussion ganzrational 1 Extrema

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Nullstellen Extrema Wendepunkte Extension

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Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Teil 4 Extrema

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Kurvendiskussion gebrochen-rational Extrema

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Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 1

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Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktion Extrema

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Extrema 2sinx -2sin(2x)

Kurvendiskussion Exponentialfunktion Extrema

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Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

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Abi 2007 2A b Exponentialfunktion Extrema

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ABI 2B a 1 definitionsbereich Nullstellen Extrema

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ABI 2B a 1 Extrema

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Hochpunkt Tiefpunkt Kurvenschar ganzrational Basisvideo

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Kurvendiskussion ganzrationale Funktionsschar dritten Grades Extrema

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Kurvenschar Für welches t sind Extrema vorhanden

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hochpunkt 2thoch2 mal e hoch minus einhalb t 1

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Ortskurve der Extrema Spezial

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Ortskurve der Extrema

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Rekonstruktion GRF3 ohne Extrema mit 4 Termen

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Flächeninhalt zwischen biquadratischer Funktion und Tangente im Hochpunkt

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Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

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Extrema ln-Funktion Funktionsschar

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Extrema Sinus x drittel minus dreihalbe pi und Skizze ohne Wertetabelle

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Ganzrationale Funktion ohne Extrema bestimmen Rekonstruktion

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Gebrochenrationale Funktionsschar Extrema

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Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 2 y-Wert

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Hochpunkt Tiefpunkt

Hochpunkt Tiefpunkt

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Flächeninhalt zwischen biquadratischer Funktion und Tangente im Hochpunkt

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hochpunkt 2thoch2 mal e hoch minus einhalb t 1

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Hochpunkt Tiefpunkt Kurvenschar ganzrational Basisvideo

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Tangente an den Hochpunkt von f und Skizze

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Ortslinie der Tiefpunkte ganzrationale Kurvenschar

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Aufgabe 1g Ortskurve der Tiefpunkte Parameteraufgaben Differential- und Integralrechnung

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Hochpunkt Tiefpunkt mit dem GTR

Hochpunkt Tiefpunkt mit dem GTR

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Extrema berechnen – was sind noch mal Extrema?

Erst Mal ist das Wort Extrema die Mehrzahl von Extremum. Und das wiederum heißt nichts anderes als Extrempunkt. Diese heißen oft auch Hochpunkt und Tiefpunkt oder Minimum oder Maximum.

Es gibt relative Extrema und absolute Extrema. Wenn Du Dir den Scheitelpunkt einer Parabel vorstellen kannst, dann hast Du ein Bild von einem absoluten Maximum oder Minimum.

Bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades gibt es höchstens lokale Extrema, weil die Funktion an den Rändern vom Definitionsbereich, also gegen unendlich, ins Unendliche strebt.

Du wirst feststellen, dass Du beim Ableiten fit sein solltest. Wenn Du merkst, dass Du da besser durch sehen solltest, dann schau Dir mal die Hauptseite zum Thema Ableitung an.

Extrema haben diese Eigenschaften:

  • sie haben eine waagerechte Tangente
  • in der näheren Umgebung keine höheren oder tieferen Punkte des Grafen liegen

Extrema: Hochpunkt – Tiefpunkt

Hochpunkt und Tiefpunkt, also die Extrema oder die Punkte mit waagerechten Tangente rechnerisch zu unterscheiden – darum gehts in diesem Mathe-Video.

Folgende Aufgabe (die auch Teil einer Kurvendiskussion sein könnte, aber auch einzeln gestellt werden kann) ist zu lösen:

Für die Funktion f(x)=2x³+7x²-14x-3 sollen die Extrema bestimmt werden.

Dazu sind die drei folgenden Schritte nötig:

  1. Die erste Ableitung (f‘(x)) und die zweite Ableitung (f‘‘(x)) bestimmen
  2. Die erste Ableitung gleich 0 setzen und dann mittels der pq-Formel die x-Werte bestimmen
  3. Die x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen für die Qualität und in die erste Ableitung für die Quantität

Regeln beim Bilden der Ableitungen

  • den Exponenten mit dem Koeffizienten multiplizieren und „oben einen abziehen“
  • bei x fällt das x weg
  • ganze Zahlen fallen komplett weg

Also f‘(x)=6x+14x-14

f‘‘(x) =12x+14

2: 0=6x²+14x-14

Um die x-Werte mit der pq-Formel zu berechnen muss man zuerst durch „6“ teilen, da zu Beginn eine „1“ stehen muss.

Daraus folgt: 0=x²+7/3 x-7/3 (Brüche sind übersichtlicher als gemischte Zahlen mit zahlreichen Stellen nach dem Kommata)

x1,2=-7/6 ± 1,922

x1=0,755

x2=-3,089 (Achtung: Beide x-Werte sind gerundet)

3: Im dritten und letzten Schritt müssen nun die x-Werte in die erste beziehungsweise die zweite Ableitung eingesetzt werden.

Da sich für x1 in der zweiten Ableitung (f‘(x)) ein positiver Wert ergibt, ist der in der ersten Ableitung (f‘(x)) mit x1 errechnete Wert (-8,72) ein Tiefpunkt. Dementsprechend ist der mit x2 errechnete Wert (48,09) ein Hochpunkt, da sich beim Einsetzen in die zweite Ableitung ein negativer Wert ergibt. Es ergeben sich also folgende Hoch- und Tiefpunkte (beziehungsweise Extrema):

TP: (0,755|-8,72)

HP: (-3,089|48.09)
Wenn die Funktion ein anderes Muster aufweist als das im Beispiel, dann kann es gut sein, dass Du eine andere Ableitungsregel benötigst. Zum Beispiel die Kettenregel.

Aufgaben, die ohne Kenntnisse der Vokabeln zum Thema Extrema schwierig werden

Da sind zunächst mal die Extremwertaufgaben, die, wie der Name schon sagt, Extrema suchen. In Sachzusammenhängen. Hat man hier das grundlegende Wissen aus den Videos oben nicht parat, dann kann man die Lösung solcher Aufgaben abhaken.