Extrema

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Extrema und Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel

Kurvendiskussion ganzrational 1 Extrema

Abi 2007 2A b Exponentialfunktion Extrema

Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

Kurvendiskussion Exponentialfunktion Extrema

Kurvendiskussion ganzrationale Funktionsschar dritten Grades Extrema

Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktion Extrema

Kurvendiskussion gebrochen-rational Extrema

Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Teil 4 Extrema

ABI 2B a 1 definitionsbereich Nullstellen Extrema

Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

Extrema Sinus x drittel minus dreihalbe pi und Skizze ohne Wertetabelle

Kurvenschar Für welches t sind Extrema vorhanden

Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 1

Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 2 y-Wert

Gebrochenrationale Funktionsschar Extrema

Extrema ln-Funktion Funktionsschar

Extremalaufgabe Coladose Volumen Oberfläche

Extremalaufgabe Dreiecksgrundstück Variante 2

Ganzrationale Funktion ohne Extrema bestimmen Rekonstruktion

Rekonstruktion GRF3 ohne Extrema mit 4 Termen

Grafisches Ableiten ohne Extrema 1

Grafisches Ableiten ohne Extrema 2

Grafisches Ableiten ohne Extrema 3

Ortskurve Extrempunke Wendepunkt

Ortslinie der Tiefpunkte ganzrationale Kurvenschar

Kurzversion Ortslinie der Wendepunkte

Aufgabe 1g Ortskurve der Tiefpunkte Parameteraufgaben Differential- und Integralrechnung

Extrempunkte

Extrema und Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel

Tangente an den Hochpunkt von f und Skizze

Kurvendiskussion ganzrational 1 Extrema

Nullstellen Extrema Wendepunkte Extension

Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Teil 4 Extrema

Kurvendiskussion gebrochen-rational Extrema

Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 1

Kurvendiskussion gebrochen rationale Funktion Extrema

Kurvendiskussion Exponentialfunktion Extrema

Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

Abi 2007 2A b Exponentialfunktion Extrema

ABI 2B a 1 definitionsbereich Nullstellen Extrema

Hochpunkt Tiefpunkt Kurvenschar ganzrational Basisvideo

Kurvendiskussion ganzrationale Funktionsschar dritten Grades Extrema

Kurvenschar Für welches t sind Extrema vorhanden

hochpunkt 2thoch2 mal e hoch minus einhalb t 1

Rekonstruktion GRF3 ohne Extrema mit 4 Termen

Flächeninhalt zwischen biquadratischer Funktion und Tangente im Hochpunkt

Nullstellen Extrema Wendepunkte von 4x mal e hoch x quadrat

Extrema ln-Funktion Funktionsschar

Extrema Sinus x drittel minus dreihalbe pi und Skizze ohne Wertetabelle

Ganzrationale Funktion ohne Extrema bestimmen Rekonstruktion

Gebrochenrationale Funktionsschar Extrema

Kurvenschar gebrochenrationale Funktion Extrema 2 y-Wert

Hochpunkt Tiefpunkt

Flächeninhalt zwischen biquadratischer Funktion und Tangente im Hochpunkt

hochpunkt 2thoch2 mal e hoch minus einhalb t 1

Hochpunkt Tiefpunkt Kurvenschar ganzrational Basisvideo

Tangente an den Hochpunkt von f und Skizze

Ortslinie der Tiefpunkte ganzrationale Kurvenschar

Aufgabe 1g Ortskurve der Tiefpunkte Parameteraufgaben Differential- und Integralrechnung

Hochpunkt Tiefpunkt mit dem GTR

Extrema berechnen – was sind noch mal Extrema?

Erst Mal ist das Wort Extrema die Mehrzahl von Extremum. Und das wiederum heißt nichts anderes als Extrempunkt. Diese heißen oft auch Hochpunkt und Tiefpunkt oder Minimum oder Maximum.

Es gibt relative Extrema und absolute Extrema. Wenn Du Dir den Scheitelpunkt einer Parabel vorstellen kannst, dann hast Du ein Bild von einem absoluten Maximum oder Minimum.

Bei ganzrationalen Funktionen dritten Grades gibt es höchstens lokale Extrema, weil die Funktion an den Rändern vom Definitionsbereich, also gegen unendlich, ins Unendliche strebt.

Du wirst feststellen, dass Du beim Ableiten fit sein solltest. Wenn Du merkst, dass Du da besser durch sehen solltest, dann schau Dir mal die Hauptseite zum Thema Ableitung an.

Extrema haben diese Eigenschaften:

sie haben eine waagerechte Tangente
in der näheren Umgebung keine höheren oder tieferen Punkte des Grafen liegen

Extrema: Hochpunkt – Tiefpunkt

Hochpunkt und Tiefpunkt, also die Extrema oder die Punkte mit waagerechten Tangente rechnerisch zu unterscheiden – darum gehts in diesem Mathe-Video.

Folgende Aufgabe (die auch Teil einer Kurvendiskussion sein könnte, aber auch einzeln gestellt werden kann) ist zu lösen:

Für die Funktion f(x)=2x³+7x²-14x-3 sollen die Extrema bestimmt werden.

Dazu sind die drei folgenden Schritte nötig:

Die erste Ableitung (f‘(x)) und die zweite Ableitung (f‘‘(x)) bestimmen
Die erste Ableitung gleich 0 setzen und dann mittels der pq-Formel die x-Werte bestimmen
Die x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen für die Qualität und in die erste Ableitung für die Quantität

Regeln beim Bilden der Ableitungen

den Exponenten mit dem Koeffizienten multiplizieren und „oben einen abziehen“
bei x fällt das x weg
ganze Zahlen fallen komplett weg

Also f‘(x)=6x+14x-14

f‘‘(x) =12x+14

2: 0=6x²+14x-14

Um die x-Werte mit der pq-Formel zu berechnen muss man zuerst durch „6“ teilen, da zu Beginn eine „1“ stehen muss.

Daraus folgt: 0=x²+7/3 x-7/3 (Brüche sind übersichtlicher als gemischte Zahlen mit zahlreichen Stellen nach dem Kommata)

x1,2=-7/6 ± 1,922

x1=0,755

x2=-3,089 (Achtung: Beide x-Werte sind gerundet)

3: Im dritten und letzten Schritt müssen nun die x-Werte in die erste beziehungsweise die zweite Ableitung eingesetzt werden.

Da sich für x1 in der zweiten Ableitung (f‘(x)) ein positiver Wert ergibt, ist der in der ersten Ableitung (f‘(x)) mit x1 errechnete Wert (-8,72) ein Tiefpunkt. Dementsprechend ist der mit x2 errechnete Wert (48,09) ein Hochpunkt, da sich beim Einsetzen in die zweite Ableitung ein negativer Wert ergibt. Es ergeben sich also folgende Hoch- und Tiefpunkte (beziehungsweise Extrema):

TP: (0,755|-8,72)

HP: (-3,089|48.09)
Wenn die Funktion ein anderes Muster aufweist als das im Beispiel, dann kann es gut sein, dass Du eine andere Ableitungsregel benötigst. Zum Beispiel die Kettenregel.

Aufgaben, die ohne Kenntnisse der Vokabeln zum Thema Extrema schwierig werden

Da sind zunächst mal die Extremwertaufgaben, die, wie der Name schon sagt, Extrema suchen. In Sachzusammenhängen. Hat man hier das grundlegende Wissen aus den Videos oben nicht parat, dann kann man die Lösung solcher Aufgaben abhaken.