Extremwertaufgaben

Dose Extremwertaufgabe

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Extremwertaufgabe Fußballfeld 400m Bahn

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Extremwertaufgabe Zaun mit Wand

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Extremwertaufgabe Zahlenrätsel

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Extremwertaufgabe Zahlenrätsel Quadratsumme

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Extremwertaufgabe Zahlen Produkt Quadratsumme

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Extremwertaufgabe Zahlenrätsel Randwerte

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Extremwertaufgabe Wirtschaft

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 1 Wirtschaft

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Extremwertaufgabe Winkel Teil 1 Zielfunktion ermitteln

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Extremwertaufgabe Winkel Teil 2 Extremwert ermitteln

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Extremwertaufgabe Spezial Halbkugel Zylinder

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Extremwertaufgabe Rotationsdreieck

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Extremwertaufgabe Rechteck unter Parabel Basisvideo

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Extremwertaufgabe Rechteck zwischen Kurven

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Extremwertaufgabe Rechteck und Halbkreis

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Extremwertaufgabe Rechteck Halbkreis 2

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Extremalaufgabe Blechbehälter

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Extremwertaufgabe Quadrat

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 2 Quadrat

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Quader Extremwertaufgabe Vorbereitung Volumen Oberfläche

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Quader Extremwertaufgabe Volumen Oberfläche

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Extremwertaufgabe Zylinder im Kegel

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Extremwertaufgabe Zylinder in Kegel Volumen

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Extremwertaufgabe Zylinder minimale Oberfläche

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Extremwertaufgabe Kegel s gegeben r und h

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Extremwertaufgabe Rechteck minimale Diagonale

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Extremwertaufgabe Kathetenlänge Maximal

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Extremwertaufgabe Dreieck unter Parabel

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Extremwertaufgabe Dreicksgrundstück Lagerhalle

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 5 Dreiecksgrundstück 1

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 6 Dreiecksgrundstück 2

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Extremwertaufgabe Draht Rechteck maximale Fläche

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 4 Draht

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Extremwertaufgabe Dachboden

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 7 Dachboden

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Extremwertaufgabe Abstand Schaubilder

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Extremwertaufgabe mit Strahlensatz

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 8

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Extremwertaufgabe Gewinn maximal

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Extremwertaufgabe ohne Ableitung 3 anonym

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Extremwertaufgabe Gleichschenkliges Dreieck im Kreis

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Weihnachtsmann Wegoptimierung

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Lagrange-Multiplikatoren

Lagrange-Multiplikatoren 1/7

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Lagrange-Multiplikatoren 2/7

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Lagrange-Multiplikatoren 3/7

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Lagrange-Multiplikatoren 4/7

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Lagrange-Multiplikatoren 5/7

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Lagrangemethode

Einführung

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Beispiel

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Was sind Extremwertaufgaben?

Extremwertaufgaben sind unter einigen Namen bekannt. So heißt das Kapitel auch Extremalprobleme, Optimierungsaufgaben oder Extremalaufgaben – wer weitere Namen dafür kennt, kann die gerne in die Kommentare schreiben. Egal wie die Extremwertaufgabe heißt, eins ist immer so und das kann man sich merken:

Eine oder mehrere Sachen sind gegeben und eine andere Sache soll extrem werden.
Nachdem du den diese Videos zu Extremwertaufgaben auf OberPrima.com angeschaut hast, wird in jedem Fall deine Fähigkeit, Punkte in der Klausur zu sammeln, auch extrem!

Im ersten Video soll das gegebene Volumen einer Cola-Dose, mit minimaler (extrem kleiner) Oberfläche erreicht werden.

Dies ist eine der beiden klassischen Extremwertaufgaben, die fast jeder aus der Schule kennt und die auch in vielen Klausuren ordentlich Punkte gebracht hat.

In einigen Fällen, gerade, wenn man noch nicht ableiten kann oder darf, kann die Lösung bei einer quadratischen Zielfunktion auch ohne Ableitung berechnet werden. Dazu genauer in den Videos. Das ganze funktioniert mit quadratischer Ergänzung.

Der Beginn von Extremwertaufgaben ist aber tatsächlich standardmäßig dieser:

  • Hauptbedingung (HB) mit 2 Variablen
  • Nebenbedingung (NB) mit einer Zahl (hier 330 cm³) und einer Variablen
  • Nebenbedingung nach Variable umformen und einsetzen in HB    -> Zielfunktion (ZF)

Was mache ich, wenn ich die Zielfunktion aufgestellt habe?

Die Zielfunktion soll uns ja auf die Extremwerte bringen. Ist die Zielfunktion quadratische, braucht man keine Ableitung, sondern kann den Scheitelpunkt der Parabel ausrechnen. Bekommt man aber nach dem Einsetzen der Nebenbedingung eine Zielfunktion heraus, die nicht quadratisch ist, so muss man sie ableiten. Deshalb sind Extremwertaufgaben ein Teilbereich der Differenzialrechnung.

Auf OberPrima findest Du Extremwertaufgaben zu diesen Aufgabenstellungen:

  • mit Zahlen
  • mit Strecken
  • mit Flächenninhalt
  • mit Volumen
  • mit anderen Zusammenhängen
  • mit Zahlen

Am Anfang kommen Extremwertaufgaben mit Zahlenrätseln häufig vor – da muss man weniger mit geometrischen Formeln arbeiten. In den drei Videos geht es um zwei Zahlen, deren Summe jeweils 22 ist und bei denen einmal das kleinste, dann das größte Produkt und zum Schluss die kleinste Quadratsumme gesucht ist. In diesem beitrag ist auch bereits die Randbedingung thematisiert.

Im zweiten Beitrag geht es um die Kombination zweier Zahlen , deren Produkt festgelegt ist und deren Quadratsumme minimal sein soll.

Extremwertaufgaben mit Strecken

In der Aufgabe Maximale Kathetenlänge geht es um ein Dreieck unter einer Parabel, bei dem eben die Kathetenlänge maximal sein soll. Hier ist die Nebenbedingung die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion. Die Zielfunktion ist in diesem Fall eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Diese Zielfunktion muss als nächstes abgeleitet werden.

Die Ableitung der Zielfunktion wird dann gleich Null gesetzt, denn das ist ja die Bedingung für ein Extremum im Graphen der Zielfunktion.

Optimierungsaufgaben mit Flächeninhalt

Flächen sollen besonders häufig besonders groß oder klein sein in Aufgabenstellungen von Extremwertaufgaben.

In der ersten Aufgabe Draht zu maximalem Rechteck soll ein 20 cm langer Draht so gebogen werden, dass ein Rechteck mit besonders großem Flächeninhalt entsteht – diese Aufgabe kann auch ohne Ableitung gelöst werden.

Hier das ganze mit einer etwas veränderten Nebenbedingung:

Extremwertaufgaben_Nebenbedingung_Zielfunktion

 

Im nächsten Video geht es um ein gleichschenkliges Dreieck, dass in einem Kreis liegt und zwar so, dass ein Punkt im Mittelpunkt des Kreises und zwei Punkte auf dem Kreisbogen liegen sollen und es soll sich ein maximales Volumen ergeben.

In ein Quadrat soll ein weiteres Quadrat einbeschrieben werden, das einen minimalen Flächeninhalt haben soll.

Und sogleich der nächste Klassiker – das Extremalproblem Leichtathletikstadion mit der 400m Bahn in die ein möglichst großes Fußballfeld passen soll.

Zwischen zwei Funktionen kann man auch ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt zeichnen – und dementsprechend auch vorher berechnen, wo denn die Eckpunkte liegen müssen. Fünf Punkte auf einem Funktionsgraphen sind gegeben, einer davon allgemein als Punkt P(a/f(a) – und jetzt soll das Fünfeck unter der gegebenen Funktion einen maximalen Flächeninhalt aufweisen. Die Funktion ist hierbei – wie bei anderen Aufgaben „mit Funktion“ eine Nebenbedingung.

Auch fast schon ein Klassiker, den man vorwärts und rückwärts rechnen kann – das Tunnelprofil – oder das Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Entweder ist der Umfang gegeben und es wird die maximale Querschnittsfläche gesucht – oder die Querschnittsfläche ist gesucht und der Umfang soll minimal werden.

Aus einem gegebenen Dreieck soll eine Rechtecksfläche ausgeschnitten werden, manchmal wird ind er Aufgabenstellung noch so getan, als wäre das ganze ein realer Sachverhalt und man möchte aus einem Abbruchstück einer Glasplatte oder von einem Marmorstück ein besonders großes rechteckiges Stück schneiden. Na, jedenfalls kann man die Aufgabe sowohl mit Haupt- und Nebenbedingungen als auch mit dem Strahlensatz , mit Ableitungen oder mit quadratischer Ergänzung lösen.

Aufgabe mit Volumen

Das erste Video zu maximalem Volumen eines Quaders von dem Seitenlängen und ein Verhältnis von zwei Seitenlängen zueinander bekannt sind.

In der nächste Miniserie geht es um maximales Zylindervolumen , dabei ist der eigentlichen Optimierungsaufgabe noch ein Video zur Vorbereitung vorgeschaltet.

Auch das Dachbodenzimmer kommt recht häufig als Aufgabe zum Einsatz – hier wird zwar nach einem Volumen gefragt, aber um die AUfgabe zu lösen muss vorher eine maximal Fläche berechnet werden.

Das nächste Video geht der Frage nach: Welches rechtwinklige Dreieck mit einer Hypotenuse von 9cm erzeugt bei Rotation um eine Kathete maximales Rotationsvolumen?

Von einem Kreiskegel ist die Größe s bekannt – welcher Kegel mit diesem s-Wert hat das maximale Volumen?

Eine Halbkugel mit Zylinderaufsatz schließt sich daran an und dann wird ein

Zylinder mit maximalem Volumen in einem Kegel gesucht . In der Extremalaufgabe Blechbehälter soll aus einem Stück Blech ein Zylinder mit Maximalvolumen gefertigt werden.

Eine Aufgabe mit anderen Zusammenhängen

In der Wegoptimierung des Weihnachtsmannes geht es darum, dass der Weihnachtsmann möglichst schnell von einem Ort zum anderen gelangt – das ganze ist als Beispiel auch für Transportweg-Optimierung gedacht.

Für welchen Preis und welche Absatzmenge wird der Umsatz maximal, fragt diese Aufgabe aus der Wirtschaft.