Faires Spiel

Erwartungswert

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Faires Spiel durch Einsatzveränderung

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Faires Spiel durch Gewinnveränderung

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Faires Spiel Erweiterung

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Das faire Spiel ist eine wichtige Vokabel in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung, weil oft genug in Klausuren Punkte dafür
vergeben werden. Einmal kann es sein, dass ein Spiel in der Aufgabe
beschrieben wird und wir sollen rausfinden, ob es sich um ein faires
Spiel handelt oder nicht: Das ist dann eng verknüpft mit dem
Erwartungswert .

Aus dem Video Faires Spiel

Wir haben ein Glücksspiel, eine Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Variable x und müssen bestimmen, ob das Spiel fair ist. Dazu brauchen wir den Erwartungswert von x.

Das Spiel besteht aus zwei Münzwürfen, wir tippen auf Wappen. Der Einsatz ist 3€, die Zufallsvariable x ist der Gewinn.

Bei einmal Wappen bekommen wir den Einsatz zurück, der Gewinn ist 0.

Bei zweimal Wappen ist die Auszahlung 5€, also 2€ Gewinn.

Bei nullmal Wappen ist unser Einsatz verloren.

Daraus machen wir nun eine Tabelle:

Wir haben auf der linken Seite die Ereignisse e, nämlich nullmal, einmal und zweimal Wappen. Dann haben wir die Zufallsvariable xi, da haben wir bei nullmal Wappen -3, bei einmal Wappen 0, bei zweimal Wappen 2. Dann die Wahrscheinlichkeit P(x=xi) (auch Pi):

Stellen wir uns das als zweistufiges Baumdiagramm mit jeweils zwei Ausgängen vor. Nullmal Wappen haben wir bei Zahl und Zahl, also beim zweiten Pfad. Beim ersten Wurf haben wir 50%, beim zweiten Mal auch, also insgesamt ein Viertel, die Wahrscheinlichkeit ist 0,25. Einmal Wappen kann man beim ersten Pfad und beim zweiten mit jeweils ein Viertel Wahrscheinlichkeit haben, also insgesamt ein Halb. Zweimal Wappen ist nur der obere Pfad, also wieder 0,25.

Die Wahrscheinlichkeit ist also bei nullmal Wappen 0,25, bei einmal Wappen 0,5, bei zweimal Wappen 0,25.

In der nächsten Spalte multiplizieren wir xi mit x=xi, damit bestimmen wir den Durchschnitt. -3×0,25=-0,75. 0x0,5=0. 2×0,25=0,5. Jetzt schreiben wir den Erwartungswert von x: E(x)(auch µ)= -0,75+0+0,5= -0,25 Der Erwartungswert ist die Summe aus allen Wahrscheinlichkeiten, von allen Werten für die Zufallsvariablen.

Wenn der Erwartungswert negativ ist, dann ist das Spiel (aus Sicht des Spielers) unfair. -0,25 bedeutet, dass ich im Schnitt jedes Mal 25 Cent verlieren. Bei Null wäre es ein faires Spiel, über 0 wäre das Spiel günstig für den Spieler

Das Spiel kann auf zwei Arten zu einem fairen Spiel modifiziert werden, nämlich indem der Einsatz oder der Gewinn modifiziert wird.

Erweiterungsvideos zum fairen Spiel:

und dann können wir dieses Spiel, wenn es denn nicht fair ist auf zwei Arten und Weisen fair machen, einmal über eine Gewinnveränderung:

und einmal über eine Einsatzveränderung:

Oder es kommt eine Aufgabenstellung und wir sollen den Einsatz bestimmen, damit das Spiel fair wird: