Horner Schema

Horner Schema statt Polynomdivision

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Horner Schema statt PD durch 3x-7

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Funktionswert mit Horner Schema berechnen

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Funktionswert mit Horner Schema und Konzentration

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Polynomdivision mit Rest nach Horner Schema

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Polynomdivision mit Rest über Horner Schema 1

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Polynomdivision mit Rest über Horner Schema 2

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Polynomdivision mit Rest über Horner Schema 3

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Polynomdivision mit Rest über Horner Schema 4

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Horner Schema mit Parameter ohne Rest

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Horner Schema zum Ausmultiplizieren 1

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Horner Schema zum Ausmultiplizieren 2

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Das Horner Schema – vielseitig verwendbar

Mit dem Horner Schema kann man Funktionswerte von Polynomfunktionen – also von ganzrationalen Funktionen berechnen, aber auch Teiler einer Funktion finden und Funktionen durch Linearfaktoren teilen.

 Funktionswert mit Horner Schema berechnen

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades und es soll der Funktionswert an der Stelle x=2 bestimmt werden.

Die ersten Schritte für das berechnen eines solchen Funktionswertes sind:

  • schreib dir eine Tabelle auf mit drei Zeilen und einer Spalten mehr als die Funktionskoeffizienten hat. Bei aller ganzrationalen Funktion dritten Grades brauchst du also fünf Spalten.
  • Den X Wert, den wir einsetzen wollen schreibst du jetzt in der ersten Spalte die zweite Zeile.
  • In der ersten Zeile beginnst du in der zweiten Spalte damit und schreibst dann nach und nach die Koeffizienten auf.
  • In der zweiten Spalte der zweiten Zeile machst du einen Strich. Hier wird nichts eingetragen.

Jetzt geht die Berechnung mit dem Algorithmus los. Wichtige Vorbemerkung: konzentriere dich auf die Vorzeichen und führ die Rechnungen ruhig mit dem Taschenrechner aus.

Es wird immer in der zweiten Spalte begonnen und man addiert die Werte in der ersten und zweiten Zeile. Das Ergebnis schreibt man in die dritte Zeile. Danach multipliziert man den X Wert, den man in die Funktion einsetzen will mit dem Wert in der dritten Zeile und schreibt das Ergebnis dann in die nächste Zelle der nächsten Zeile. So macht man das, bis die Tabelle ausgefüllt ist.

Das Ergebnis für diese Art der Berechnung steht ganz unten rechts in einer Tabelle.

 

Teiler von Polynomen finden

Die letzte Zeilen unserer Tabelle enthält noch eine weitere Information. Und zwar führen wir neben der Berechnung des Funktionswertes an der Stelle x=2 auch gleichzeitig eine Polynomdivision der Funktionsgleichung durch den Linearfaktor x-2 durch. Die Zahlen in der letzten Zeile kann man dann als Koeffizienten deuten. Und zwar steht der erste Koeffizient immer vor einem X, dessen Exponent um eins kleiner ist als der höchste Exponent in der Funktion, die gegeben ist.

Steht in der letzten Spalte der dritten Zeile eine null, so ist der gewählte Linearfaktor tatsächlich ein Teiler der Funktion. Dort steht also der Rest der Division.

 Horner Schema statt Polynomdivision

Das Wort Schema kommt daher, dass man das ganze in einer Tabelle durchführt, die man nach einem ganz bestimmten Schema (mancher sagt dazu auch Algorithmus) durchgeht.

 

Weitere Videobeiträge zum Horner Schema

Fünf Videos zum Horner Schema, bei dem ein Rest rauskommt und wie man den dann im Ergebnis darstellt:

 Horner Schema mit Rest

Das Video zum „Horner Schema mit Parameter ohne Rest“ beschäftigt sich mit einer ganzrationalen Funktionsschar, die durch einen Linearfaktor geteilt werden soll, wobei kein Rest entstehen soll (steht so in der Aufgabenstellung):

 Horner Schema mit Parameter ohne Rest

Man kann auch Polynomterme ausmultiplizieren, in dem man das Horner Schema anwendet, dafür muss man die Tabelle aber „rückwärts abarbeiten“ – eigentlich ganz witzig 😉

 Ausmultiplizieren mit dem Horner Schema