Inverse Matrix

Inverse Matrix Gauß Jordan

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Matrix invertieren 2x2 mit Determinante

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Inverse Matrix 3x3 mit Determinante

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Inverse Matrix mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus

Thema ist heute die Berechnung einer inversen Matrize. Und dazu
benutzen wir den Gauß-Jordan Algorithmus. Hier geht es zunächst nur um
das Technische.

Gegeben ist diese quadratische Matrix.

 

1-12
321
2-3-2

 

1. Schritt Inverse Matrix

 

Aus dieser quadratischen Matrix erstellen wir als erstes eine Blockmatrix mit der Einheitsmatrix.

 

In der Einheitsmatrix befinden sich in der Diagonalen von oben
links nach unten rechts jeweils Einsen und in allen anderen Feldern
Nullen.

 

Die Blockmatrix sieht dann so aus:

 

1-12|100
321|010
2-3-2|001

 

Jetzt formen wir diese Blockmatrix so um, dass der linke Bereich,
also die Ausgangsmatrix, am Ende so aussieht wie die Einheitsmatrix.
Die Einheitsmatrix verändert sich dabei immer mit. Am Ende steht an ihrer Stelle die inverse Matrix.

 

Dies tun wir fürs Erste vollständig definitionslos. Uns ist aber wichtig, mögliche Tücken zu erkennen.

 

Unsere erstes Ziel ist es, die in der nächsten Matrix hervorgehobenen Zahlen zu eliminieren.

 

1-12|100
321|010
2-3-2|001

 

Dabei richten wir uns nach einem speziellen Schema. Wir beginnen mit den Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte der Ausgangsmatrix.

 

1-12|100
321|010
2-3-2|001

 

Wenn ich die Zahl 3 der ersten Spalte in eine Null umwandeln
will,muss ich die erste Gleichung dreimal von der zweiten Geleichung
abziehen. Analog muss ich die erste Gleichung zweimal von der letzten
Gleichung abziehen, um die +2 in der letzen Gleichung in eine Null zu
verwandeln.

 

1-12|100
321|010-3*I
2-3-2|001-2*I

 

Es ist sinnvoll, beim Berechnen dieser Matrix den Taschenrechner zu
verwenden. Natürlich sind die einzelnen Rechenschritte sehr einfach.
Aufgrund der Vielzahl der kleinen Aufgaben hat sich aber sehr schnell
ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen. Die nächste Stufe dieser
Blockmatrix sieht dann wie folgt aus.

 

1-12|100
05-5|-310
0-1-6|-201

 

2. Schritt Inverse Matrix

 

Hier wird jetzt der entscheidende Unterschied zum Gauß-Algorithmus
klar. Wenn ich auf diese Art und Weise weiter machen würde, würde ich
die 5, die genau in der Mitte der Ausgangsmatrix steht, nie verändern.
Aber gerade dies will ich ja – hier soll ja am Ende eine 1 stehen. Und
dies erreichen wir mit einem Kniff: In diesem Beispiel ist es so, dass
wir in Zeile zwei der Ausgangsmatrix zweimal die Zahl 5 und eine 0
haben. In diesem Fall können wir die gesamte Gleichung durch die Zahl 5
teilen. Dieser Kniff das ist aber nur dann sinnvoll, wenn am Ende nur
ganze Zahlen auf der linken Seite herauskommen.

 

1-12|100
05-5|-310:5
0-1-6|-201

 

Es ist in Ordnung, dass im rechten Bereich der Einheitsmatrix nun Brüche erscheinen.

 

1-12|100
01-1|-3/51/50
0-1-6|-201

 

3. Schritt Inverse Matrix bestimmen

 

Die in der nächsten Matrix markierten Zahlen wollen wir noch
eliminieren. Gleichzeitig sollen alle Nullen im linken Bereich der
Blockmatrix aufgefüllt werden. Deshalb addieren wir die zweite Gleichung
einmal zur ersten Gleichung und als nächstes zur dritten Gleichung.
Dadurch fallen auf einfachste Art und Weise die negativen Einsen in der
zweiten Spalte weg.

 

1-12|100+II
01-1|-3/51/50
0-1-6|-201+II

 

Als Ergebnis erhalten wir nun folgende Matrix.

 

101|2/51/50
01-1|-3/51/50
00-7|-13/51/51

 

4. Schritt Inverse Matrix berechnen

 

Nun erahnt man schon, was als nächstes passiert: Die letzte Gleichung wird durch -7 geteilt.

 

Tipps:

 

  1. Es ist immer einfacher mit reinen Brüchen zu rechnen. Zum
    einen wird die Zeile nicht so lang und zum anderen verändern sich die
    Werte ja noch laufend. Und ein Weiterrechnen mit dem Bruch -13/5 ist in
    der Regel leichter als mit -2 3/5.
  2. Gerade in der Übungsphase sollte man jeden einzelnen Schritt im Taschenrechner mitrechnen, so vermeidet man Flüchtigkeitsfehler.

 

Nun teilen wir also die letzte Gleichung durch die Zahl -7.

 

101|2/51/50
01-1|-3/51/50
00-7|-13/51/51:-7

 

Hier das Ergebnis – einfacher geht es nicht!

 

101|2/51/50
01-1|-3/51/50
00-1|13/35-1/35-1/7

 

5. Schritt

 

Wenn wir nun die dritte Zeile zur zweiten Zeile addieren und von der
ersten Zeile abziehen, sehen wir im linken Teil der Blockmatrix die
Einheitsmatrix.

 

101|2/51/50-III
01-1|-3/51/50+III
00-1|13/35-1/35-1/7

 

So sieht das Ergebnis aus. Im linken Bereich seht ihr die Einheitsmatrix und rechts ist die inverse Matrix hervorgehoben.

 

100|1/358/351/7
010|-8/356/35-1/7
001|13/35-1/35-1/7

 

Hier ging es jetzt wirklich nur um die Technik. Wenn man das
Verfahren wirklich richtig verstehen will, sollte man sich noch einmal
genau ansehen, welche Schritte genau notwendig sind und noch mehr Zeit
in unterschiedliche Aufgaben investieren.

 

Falls ihr auf Fragen oder Spezialfälle trefft, zögert nicht mir diese zuzuschicken.