Kosinussatz

Trigonometrie Einführung Kosinussatz

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Herleitung Kosinussatz

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Kosinussatz Formel umstellen 1

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Umstellung Cosinussatz 2

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Kosinussatz und Parallelogramm 1

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Kosinussatz und Parallelogramm 2

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Sinussatz oder Kosinussatz oder was

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Berechnungen mit dem Kosinussatz

Video zur Einführung Kosinussatz

wenn ich in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten unter eingeschlossene Winkel gegeben sind, dann ist dies ein Fall für den Kosinussatz. Das Dreieck muss also nicht rechtwinklig sein. Ein weiterer Fall ist, dass wir von dem Dreieck alle drei Seiten kennen. In dem Video wird ein erstes Beispiel dieser Art, wie es auch in einer Klassenarbeit vorkommen könnte vorgerechnet. Bei der Gelegenheit wird als nächstes die Formel  und wie man sie sich merken kann vorgestellt und erklärt.

Der Kosinussatz beschäftigt dieses Video einführend oder das Video dreht sich um den Kosinussatz. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sollten gern bekannt sein oder aber alle drei Seiten.

In Klassenarbeiten tritt der Kosinussatz gerne zusammen mit dem Sinussatz auf.

Kosinussatz in einer Aufgabe mit einem Parallelogramm

Gegeben sind in einem Parallelogramm die Seitenlängen und ein Winkel. Andere Werte sind über den Kosinussatz ausrechenbar.

Video zur Herleitung des Kosinussatzes

auf der Tafel siehst du die Formel und ein allgemeines Dreieck. Die Höhe teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke. Und in jedem rechtwinkligen Dreieck gelten viele Sätze. Zum Beispiel der Satz des Pythagoras im rechten kleinen Dreieck:
1. a²=h²+p²

man hätte natürlich auch denSatz des Pythagoras im linken kleinen Dreieck anwenden können, die siehst du im angefügten Bild. Aber wir machen im Video weiter mit dem rechten Dreieck. Dazu müssen wir uns was lustig ist, aber im weiteren mit dem linken Dreieck beschäftigen und zwar geht es weiter mit Sinus
und Kosinus.

Man kann ja sagen, dass der Sinus von alpha gleich h durch q ist. Diese Gleichung wollen wir so umformen, dass die Formel des Kosinussatzes wie Sie am Anfang auf der Tafel stand entsteht
2. sin  ? =  h/q

diese Gleichung kann man umformen nach h, der Höhe. Die umgeformte Formel kann man jetzt also einsetzen in der Formel oben. Als drittes weiß man das p = c-q. Und die vierte Zutat für die Herleitung des Kosinus Satzes ist: wir brauchen ja noch einen Kosinus. Also schreiben wir hin:
4. cos  ? =  q / b

und auch diese Formel stellen wir nach q um. Jetzt wird alles eingesetzt in die erste Gleichung, die mit dem Höhensatz. Dann formt man um und erhält so die genannte Formel.

Die  Herleitung des Kosinussatzes brauchen  wir 4 Schritte:.

kosinussatz-beweis_01

 

Beweisbild von Frank zum Beweis des Kosinussatzes

Hinweis: Ganz oben in der Gleichung im Bild muss natürlich cos(beta) stehen – so wie ganz unten auch – ein Vertipper.

Übungsaufgaben zum Kosinussatz

Das pdf mit Übungsaufgaben zum Kosinussatz mit den beiden Varianten, wann man ihn benutzen muss, um die fehlenden Größen eines Dreieck zu berechnen.