Lagebeziehungen

Lagebeziehung Ebene Punkt

Lagebeziehung Punkt und Ebene in Punktrichtungsgleichung

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Lagebeziehung Punkt Ebene Koordinatenform

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Lagebeziehung Punkt Ebene Normalenform

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Lagebeziehung Gerade Gerade

Lagebeziehung Gerade Gerade parallel

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Lagebeziehung Gerade Gerade Identisch

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Lagebeziehung Gerade Gerade Schnittpunkt

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Lagebeziehung Gerade Gerade windschief

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Schnittpunkt zweier Geraden mit Vektoren

Lagebeziehung Gerade Gerade Schnittpunkt

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Windschiefe Geraden

Lagebeziehung Gerade Gerade windschief

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Koordinaten Abstand windschiefe Geraden

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Punkte mit geringstem Abstand auf windschiefen Geraden Schema

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Punkte mit geringstem Abstand auf windschiefen Geraden Beispiel 1

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Punkte mit geringstem Abstand auf windschiefen Geraden Beispiel 2 Klausurstyle

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Abstand windschiefe Geraden ohne HNF Schema

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Abstand windschiefe Geraden ohne HNF Beispiel

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Lagebeziehung Kreis Gerade

Kreisgleichungen 6 Tangente Passante Sekante

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Kreisgleichungen 6 Tangente Passante Sekante mit Parameter

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Berührpunkt, Tangente, Radius zu Kreisgleichung 1

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Berührpunkt, Tangente, Radius zu Kreisgleichung 2

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Berührpunkt, Tangente, Radius zu Kreisgleichung 3

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Berührpunkt, Tangente, Radius zu Kreisgleichung 4

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Tangente an Kreis durch Berührpunkt geometrisch Einleitung

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Tangente an Kreis durch Berührpunkt geometrisch Rechnung

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Tangente am Kreis durch Punkt

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Kreis mit zwei Tangenten parallel zu einer Gerade

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Schnittpunkte Kreis und Sekante 1

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Schnittpunkte Kreis und Sekante 2

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Schnittpunkte Kreis und Sekante 3

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Lagebeziehung Ebene Gerade

Lagebeziehung Gerade mit Parameter Ebene in Koordinatenform mit Probe

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Lagebeziehung Gerade Ebene Koordinatenform

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Lagebeziehung Gerade Ebene Normalenform

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Lagebeziehung Gerade Ebene Punktrichtungsgleichung mit Umformen

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Lagebeziehung Gerade Ebene Punktrichtungsgleichung

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Schnittgerade

Schnittgerade Ebenen in Parameterform 1

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Schnittgerade Ebenen in Parameterform 2

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Schnittgerade Ebenen in Parameterform 3

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Schnittgerade Ebenen in Koordinatenform Schema 1 mit Kreuzprodukt

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Schnittgerade Ebenen in Koordinatenform Schema 2 Schema 2 ohne Kreuzprodukt

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Schnittgerade ohne Vektorprodukt 2

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Schnittgerade Ebene in Koordinatenform spezial 1

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Schnittgerade Ebene in Koordinatenform spezial 2

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Schnittgerade Ebene in Koordinatenform spezial 3

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Schnittgerade Ebenen in Koordinatenform Speziale

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Ebenenbüschel

Schemavideo Ebenenscharen

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Überprüfung Ebene Element Ebenenschar

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Ebenenbueschel Endgueltig

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Schar paralleler Ebenen

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Lagebeziehung Kugel Ebene

Kugel Schnittkreis und Radius 1 Schemata

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Kugel Ebene Schnittkreismittelpunkt

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Kugel Ebene Schnittkreisradius

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Tangentialebene an einer Kugel

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Schnittkreis

Kugel Schnittkreis und Radius 1 Schemata

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Kugel Ebene Schnittkreismittelpunkt

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Kugel Ebene Schnittkreisradius

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Lagebeziehung Kugel Kugel

Lagebeziehung: Kugel - Kugel

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Lagebeziehungen analytische Geometrie

Die Lagebeziehungen in der analytischen Geometrie bzw. Vektorrechnung werden zwischen Punkt, Gerade, Ebene, Kreis und Kugel bestimmt.

Auf dieser Seite findest Du alle denkbaren Kombinationen:

Ein Punkt kann nur entweder Teil einer Gerade bzw. Ebene sein oder
nicht. Er kann innerhalb einer Kugel liegen auf der Kugelebene oder
außerhalb der Kugel.

Lagebeziehung Gerade Punkt

Diese Lagebeziehung ist schnell beschrieben. Es gibt nur zwei Möglichkeiten, wie ein Punkt und eine Gerade zueinander liegen können: Entweder der Punkt liegt auf der Geraden oder er tut es nicht. Woher weiß man, was der Fall ist?
Man setzt den Punkt für den Vektor x in der Geradengleichung ein und löst dann jede einzelne Koordinatengleichung nach dem Parameter auf. Wenn überall dieselbe Zahl raus kommt, dann liegt der Punkt auf der Geraden, andernfalls nicht.

Wie bestimmt man die Lagebeziehung von Kreis und Punkt?

In einer Aufgabe zur Vektorrechnung ist eine Kreisgleichung gegeben und die Frage wird gestellt, ob ein ebenfalls in der Aufgabe angegebener Punkt auf dem Kreisbogen. Um es vorweg zu nehmen, ein Punkt kann nur entweder auf dem Kreisbogen, der Kreislinie liegen oder eben nicht. Und ebenso viele Möglichkeiten gibt es für ein Ergebnis.
Setze als erstes den Punkt in die Kreisgleichung ein. Rechne als zweites so lange, bis du zu einer Gleichung kommst, die du interpretieren kannst.
Was meine ich damit: interpretieren?
Nun ja du hast mehrere Möglichkeiten für ein Ergebnis, die will ich Dir hier einmal genauer schildern.
Entweder ergibt sich eine wahre Aussage oder eine falsche Aussage kommt heraus.
Bei einer wahren Aussage liegt der Punkt auf dem Kreisbogen Bein einer unwahren Aussage oder falschen Aussage liegt der Punkt nicht auf der Kreislinie, dann kann er noch innerhalb oder außerhalb des Kreises liegen.
Lagebeziehung Kreis Punkt und der Punkt liegt auf der Kreisfläche, also innerhalb des Kreisbogens
Hier greift eine wichtige Vokabel: auf der einen Seite der Kreisgleichung steht ja das Quadrat des Radius ist das Ergebnis auf der anderen Seite der Gleichung kleiner als das Quadrat des Radius, so ist der Abstand des Punktes vom Mittelpunkt des Kreises geringer als der Abstand jedes Punktes, der auf der Kreislinie liegt und also liegt unser Punkt auf dem Kreis. Also auf der Kreisfläche.

Wie berechne ich die Lagebeziehung von Ebene und Punkt?

Diese Aufgabe aus der Vektorrechnung im folgenden Video lautet: Prüfen Sie ob der Punkt P in der Ebene E liegt.

gegenseitige_Lage_Ebene_Parameterform_Punkt

 

Das heißt schonmal, dass wir die Lagebeziehung des Punktes P zur Ebene E überprüfen sollen. Als erstes setzten wir den Punkt P alsVektorgeschrieben gleich der Ebene E. Daraus wird dann ein lineares Gleichungssystem gemacht.

Punkt_in_Parameterform_einsetzen

 

Das heißt wir müssen nun drei Reihen bilden, und alle X, Y und Z Koordinaten getrennt voneinander aufschreiben. Wir nutzen hier das Einsetzungsverfahren, um zur Lösung zu gelangen. Fangen wir mit der X-Koordinate an:

Erste_Koordinatengleichung_nach_einem_Parameter_aufloesen

 

Das kann nun in die zweite Gleichung (Die Y Gleichung) eingesetzt werden:

Lagebeziehung_Ebene_Punkt_zweite_Koordinate_Gleichung

 

Wenn wir das jetzt wieder in unser s einsetzen:

Einsetzen_Parameter_s_Ebene_Punkt_Lage

 

Jetzt müssen wir das r und das s noch in die letzte Gleichung (die Z-Koordinate) einsetzen:

Einsetzen_Parameter_s_und_r_Ebene_Punkt_Lage

Hier kommt also am Schluss eine falsche Aussage raus. Weil das der Fall ist, ist der Punkt  P nicht Element der Ebene E und liegt demnach nicht auf der Ebene. Hätten wir eine wahre Aussage herausbekommen, so hätte der Punkt P auf der Ebene E gelegen. Das gilt es also immer zu überprüfen.

Lagebeziehung Punkt Ebene in Koordinatenform

Wir können die Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene auch herausbekommen, wenn wir die Koordinatenform der Ebene und den Punkt gegeben haben. Im Prinzip geht das noch einfacher, als mit der Ebene in Parameterform. Wie man eine Ebene von der Parameterform in die Koordinatenform umwandelt, finde ihr auch in einem Video hier bei Oberprima.

Jetzt zur Aufgabe, folgendes ist gegeben: Eine Ebene in Koordinatengleichung lautet: 3x-2y+4z=7 und ein Punkt P(2|3|-2):

Nun können wir den Punkt einfach in die Koordinatenform einsetzen und dann überprüfen, ob sich eine wahre Aussage ergibt. P (2|3|-2) ist ja P (X|Y|Z ), das heißt die 2 ist die X Koordinate, die 3 ist die Y Koordinate und die -2 ist die Z Koordinate. Deshalb können wir das genauso einsetzen, d.h für X setzen wir 2 ein, für Y 3 und für Z die -2: Lagebeziehung_Ebene_Punkt_Koordinatenform_P_nicht_Element

Da hier nun eine falsche Aussage herauskommt, liegt der Punkt P nicht auf der Ebene E. Man hätte nun auch eine andere Ebenengleichung gegeben haben können, zum Beispiel:

Lagebeziehung_Ebene_Koordinatenform_Punkt_liegt_auf

 

Es kommt eine wahre Aussage heraus. Der Punkt P liegt auf / in der Ebene E.

Regel:

  • Wahre Aussage = Punkt liegt auf Ebene
  • Falsche Aussage = Punkt liegt NICHT auf Ebene

Lagebeziehung Gerade Gerade

Eine Gerade kann mit einer anderen Geraden 4 unterschiedliche
Lagebeziehungen eingehen, nämlich :

  1. Sie sind parallel.
  2. Sie sind identisch.
  3. Sie schneiden sich in einem Punkt.
  4. Sie sind windschief.

Bei solcher Art Aufgabe gibt es ein Schema:
1. Überprüfen der Kollinearität der Richtungsvektoren. Anders ausgedrückt: Check aus, ob Du den Richtungsvektor der ersten Geraden mit einer Zahl malnehmen kannst, so das der Richtungsvektor der anderen heraus kommt.
Hier ein Beispiel:

 

g
:

x
?

=

(



1




2




3



)

+
r


(



2




2




2



)

 

Parallele Geraden haben kollineare Richtungsvektoren. Wenn der eine Richtungsvektor sich mit dem zweiten Richtungsvektor ausdrücken lässt, können die Geraden parallel oder identisch sein. In diesem Fall ist g „echt parallel“ zu der Geraden h.

 

h
:

x
?

=

(



1




2




4



)

+
r


(



1




1




1



)

Wie man den Abstand paralleler Vektorgeraden berechnen kann, kannst Du Dir hier in mehreren Varianten angucken. Wenn herausgekommen ist, dass die beiden Richtungsvektoren kollinear sind, kann man noch nicht sagen, dass die beiden Geraden parallel sind. Dafür müssen wir noch abchecken, ob die geraden nicht evtl. identisch sind.

2. Identische Geraden mit Vektoren

Dazu wird jetzt gecheckt, ob der Ortsvektor der einen Geraden zusätzlich
noch auf der anderen Geraden liegt. Dazu auch wieder ein Beispiel:

 

g
:

x
?

=

(



1




2




3



)

+
r


(



2




2




2



)

ist mit i identisch:

 

i
:

x
?

=

(



3




4




5



)

+
r


(



1




1




1



)

3. Wie berechnet man den Schnittpunkt von zwei Geraden

Ob sich zwei Geraden schneiden wird am „logischsten“ überprüft. Nämlich
so, wie man das bei Funktionen kennt: durch Gleichsetzen der
Geradengleichungen. Der Schnittpunkt von zwei Vektorgeraden wird berechnet, wenn die Geraden
nicht mehr parallel oder identisch sein können. Dann setzt man die
Geraden gleich (gern auch gleich als Gleichungssystem).
Zwei Geradenscharen mit Vektoren
sind gegeben, eine jede weist einen Parameter auf und die spezielle und
gar nicht so seltene Frage ist: Für welchen Wert des Parameters
schneiden sich die Geraden und für welche Werte schneiden sie sich
nicht.

4. Windschiefe Geraden ist quasi das
„Abfallprodukt“ dieses Überprüfungsschemas. Alles, was nicht parallel,
identisch oder schneidend ist, ist windschief:

Wie bestimmt man die Lagebeziehung von Ebene und Gerade

Zunächst einmal sollte man sich klarmachen, dass eine Ebene und einer Geraden genau drei Möglichkeiten haben zueinander zu liegen.

  1. Die Gerade verläuft in der Ebene
  2. die Gerade ist parallel zu der Ebene
  3. Gerade und Ebene bilden einen Schnittpunkt

Für die Gerade gibt es eine klassische Schreibweise, und das ist die Parameterform. Für die Ebenengleichung in der Vektorrechnung gibt es sehr viele verschiedene Schreibweisen. Mit jeder dieser Formen der Ebenengleichung lässt sich die gegenseitige Lage bestimmen, aber empfehlenswert ist aber eigentlich nur die Koordinatenform. Denn es soll ja auch schnell gehen. In der Klausur. Denn es geht um Punkte.
Deshalb zeige ich dir hier zuerst den Weg, den ich empfehle und danach findest du hier noch weitere Beispiele, die du dir aus Interesse anschauen kannst und manchmal musst du sogar einen dieser Wege gehen, zum Beispiel wenn dein Lehrer dir diese Form der Ebene noch gar nicht gezeigt hat.

Lagebeziehungen von Geraden und Ebene in Koordinatenform

Vor dir liegt die Ebenengleichung: E: 2x+3y+4z=5
Du setzt die x Koordinate der Geraden an der Stelle in die Ebenengleichung ein, wo das x steht. Dasselbe machst du auch mit den anderen beiden Koordinaten und erhälst dann eine Gleichung, in der nur noch der Parameter der Geraden vorkommt.
Fällt der Parameter der Geradengleichung weg, so kann sich entweder eine wahre oder eine falsche Aussage ergeben. Die wahre Aussage interpretieren wir dahingehend, dass jeder Punkt der Gerade auch Teil der Ebene ist, also verläuft die Gerade in der Ebene.
Bei einer falschen Aussage stimmen Gerade und Ebene in keinem Punkt über ein. Dieser Fall ist dann gegeben, wenn die beiden parallel sind.

Schnittpunkt Gerade Ebene

Fällt der Streckfaktor der Gerade nicht weg, so kann man die Gleichung nach diesem auflösen. Setzt man dann das Ergebnis in die Gerade ein, so erhält man den Schnittpunkt von Ebenengleichung und Geradengleichung.