Limes gegen Stelle x-Wert
Grenzwert x gegen xo von rechts und links
Grenzwert x gegen xo
Grenzwert x gegen Zahl Wurzelbruch
Kurvendiskussion gebrochen-rationale Funktion Limes x gegen Polstelle
ABI 2B a 1 limes x gegen null testeinsetzungen
Berechnen Sie die Grenzwerte an den Definitionslücken, und zwar von rechts und links. Dazu schnappen wir uns eine Nullfolge, wie z.B. 1/n und lassen dann n gegen unendlich streben. Die Umformungsschritte schnappst Du Dir im Video 🙂
Hinweis: Ganz am Ende mache ich die grafische Darstellung an der Stelle x=-3 – das muss natürlich x=3 heißen, es geht ja in dem Video die ganze Zeit um x=3. Danke an Hannes, der das bemerkt hat!
Alle Videos zum Thema:
Limes Grenzwert Sammlung
Aus dem Video:
Grenzwertberechnung von rechts und von links
Die gestellte Aufgabe ist folgende: Berechnen Sie die Grenzwerte an den Definitionslücken.
lim (x ->)
In diesem Fall, darf ich hier im Nenner, bzw. insgesamt, die 3 nicht einsetzten. Denn dann wird der Nenner 0. Die korrekte Schreibweise des Limes ist hier also:
lim (x -> 3)
Nun die Annäherung von rechts (+ 0):
(Wichtig: Es gibt viele verschiedene Schreibweisen)
lim (x -> 3 + 0)
daraus ergibt sich:
denn 0 wird immer durch eine Nullfolge ersetzt. Somit kann man im nächsten Schritt schreiben:
lim (n -> 8) also:
jetzt hat man eine Nullfolge, bei der man das Unendliche immer noch nicht einsetzten darf. Aber, wir haben einen Doppelbruch, denn die Klammer oben wird durch einen Bruch geteilt:
Man teilt durch einen Bruch, indem man ihn mit seinem Kehrwert multipliziert:
( = ) also: jetzt kann man die Klammer auflösen:
lim (n -> 8) oder um ganz korrekt zu sein: lim (n -> 8) lim (n -> 8)
jetzt kann man das Unendlich einsetzten: lim (n -> 8) ist gleich 1 und lim (n -> 8) ist gleich 3 8. Also: 3 8+1. Und das ist dann 8 und zwar + 8.
Annäherung von links (- 0):
lim (x -> 3 – 0) und daraus ergibt sich:
lim (n -> 8) also: multipliziert mit dem Kehrwert:
daraus folgt: –
und um wieder ganz korrekt zu sein lim (n -> 8) – lim (n -> 8)
nun wird wieder der Grenzwert von n gegen Unendlich eingesetzt:
lim (n -> 8) ist gleich 1 und lim (n -> 8) – ist gleich -3 8. Also: -3 8+1. Und das ist dann 8 und zwar – 8.
Würde das man grafisch in einem xy Diagramm betrachten und auf der x-Achse
–3 einzeichnen, so würde bei einer Rechtsannäherung der Graph ins +8 und bei einer Linksannäherung ins -8 verschwinden. D.h. bei einer Rechtsannäherung gibt es einen positiven und bei einer Linkannäherung einen negativen Pol.
