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Dreiecke

Dreieck und Dreiecke

Das Dreieck – in seiner Vielzahl Dreiecke genannt, kommt in der Schulmathematik in vielen Klassenarbeiten und Klausuren vor – hier zunächst einmal eine Übersicht der Themen, zu denen bereits Videos bereit stehen:

  • Konstruktion
  • Ähnlichkeit und Kongruenz
  • Sinus und Cosinus
  • Satz des Pythagoras
  • Textaufgaben
  • Dreieck aus Geraden
  • Extremwertaufgaben
  • Dreiecke in der Integralrechnung
  • Dreiecke in der Vektorrechnung

Dreiecke Konstruktion

Den Reigen beginnt Konstruieren eines Dreiecks.

Wenn man sich das genauer anschaut, entdeckt man ein paar ganz typische Fälle, die man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, nämlich die Dreieckskonstruktionen:

  1.     SWS
  2.     SSS
  3.     SSW
  4.     WSW und
  5.     SWW

Ein Spezialfall der Konstruktion ist dann schon, wenn eine Seite und zwei Höhen gegeben sind.

Oder aber wenn man die Zeichnung des Dreiecks nur ohne Winkelsummensatz anfertigen darf.

Manchmal gibt es auch zwei Möglichkeiten –

in diesem Fall wird der Sinussatz einbezogen. Wer den noch nicht kennt, muss sich damit noch nicht beschäftigen ;)

Eine spezielle Aufgabe, die trotzdem häufig genug vorkommt ist das Abschätzen der Fläche eines Kreises mit Dreiecken.

Ähnlichkeit – Kongruenz

Ähnlichkeit bzw. Kongruenz ist ein von vielen als sehr theoretisch empfundener Teil im Bereich der Dreiecksgeometrie, aber auch das muss ja zwischendurch mal sein. Bei den Ähnlichkeitssätzen gibt es vier Stück, ähnlich wie bei den Konstruktionen oben, nämlich WWW, SSS, SWS und SSW.

Und zu diesen vier Fällen findest Du hier dann Aufgaben zu den Kongruenzsätzen . Sowas kann dann auch schon mal in einer Klassenarbeit „Dreiecke“ drankommen.

Sinus und Cosinus im Dreieck

Sinus und Cosinus im Dreieck ist ein beliebtes Thema, um aus der Mathematik auszusteigen – das sich das nicht lohnt, zeigen diese Videos, denn von der Sache her ist das ganze oft nicht so kompliziert, wie es erst scheint.

  • Höhe im Dreieck mit Tangens
  • Sinus und Cosinus
  • Satz des Pythagoras

Wer mit rechtwwinkligen Dreiecken und Sinus und Cosinus beschäftigt wird in der Schule, der kommt an diesen 7 Aufgaben nicht vorbei – die typischen Berechnungen, tausende Male erfolgreich erprobt, die Videos zur Satzgruppe des Pythagoras .

Damit kann man dann das Volumen einer Pyramide berechnen, wenn man die richtigen Maße gegeben bekommt – okay, die bekommt man meistens in der Klassenarbeit zum Satz des Pythagoras.

Viel Spezieller ist dann der Beweis, dass gilt: a²-b²=p²-q² aber auch das gehört mancherorts in solche Arbeiten und hat auch abstrakt etwas mit Dreiecken zu tun.

Textaufgaben zum Dreieck

Immer beliebter werden bei Lehrern Textaufgaben, in denen man erst den Sachverhalt klären muss, bevor man sich über die Dreiecksaufgaben her machen kann. Im ersten Beitrag zeige ich drei oft gestellte Aufgaben – dort sammle ich weitere Textaufgaben zu Dreiecksberechnungen.

In einem zweiten Aufgabenbeitrag führt die Textaufgabe zu einem Gleichungssystem. Man kann sehen, das Thema ist sehr weitläufig.

Dreieck aus Geraden

Die Themen lineare Funktion und Dreiecke paaren sich in diesen Videos. Es sind drei Geraden gegeben, die sich paarweise in insgesamt drei Punkten schneiden und so ein Dreieck bilden.

  • Berechnung des Umfangs
  • Bestimmung der Innenwinkel
  • zweites Videos zu den Innenwinkeln
  • Berechnung des Flächeninhalts
  • Ermittlung des Höhenschnittpunkts

Es gibt noch weitere Möglichkeiten die beiden Themengebiete zu verbinden, z.B. sind in den folgenden drei Videos 3 Punkte gegeben und es werden Schritt für Schritt die Gleichung der Seiten, die Gleichung der Seitenhalbierenden und die Gleichungen der Mittelsenkrechten bestimmt.

Und es geht noch ein bisschen anders – im folgenden Video sind 2 Punkte und der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden gegeben, woraus wir mit Hilfe von linearen Funktionen den fehlenden Exkpunkt bestimmen können – sehr analytisch sozusagen.

Dreiecke in der Integralrechnung

Das Video Rotationsvolumen Dreieck greift einige der Grundlagen auf, wie

  • Winkelsumme im Dreieck
  • Sinussatz
  • Sinus eines Winkels und
  • Satz des Pythagoras

und verknüpft das ganze mit der Integralrechnung

Dreiecke in der Vektorrechnung

Auch in der analytischen Geometrie, bzw. Vektorrechnung finden sich viele Aufgaben mit Bezug zum Thema Dreieck.

Hier geht es darum, einen Punkt auf einer gegebenen Geraden zu finden, so dass dieser mit 2 weiteren gegebenen Punkten ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Flächeninhalt und Seitenhalbierende mit Vektoren gibt es dann in diesem Beitrag

Die Herleitung des Schwerpunktes lässt sich auch in 3D bewerkstelligen.

Weitere Aufgaben, in denen Wissen um das Dreieck wichtig ist

Da wären einmal die Extremwertaufgaben, in denen es oft um Dreiecke geht. Aber auch der Strahlensatz hat etwas mit vVerhältnissen in ähnlichen Dreiecken zu tun.

Wenn man dann in der 10. 11. oder 12. Klasse angekommen ist, beschäftigt man sich mit der Optimierung, man spricht auch von Extremwertaufgaben und einige davon haben auch wieder was mit Dreiecken zu tun, wie diese:

  • Fabrikhalle auf dreieckigem Grundstück
  • 3-eck unter einer Parabel
  • Maximal großes Dreieck im Kreis
  • Maximales Volumen eines rotierenden Dreiecks