Zahlen

Zahlen, Zahlen die ganze Mathematik ist voller Zahlen. Zumindest am Anfang. In der Grundschule. In der Mittelstufe. Und Zahlen sind wichtig, um später Muster in der Welt zu entdecken.

Zahlen in der Mathematik

Mit Zahlen fängt das rechnen an. Ohne Zahlen keine Mathematik. Dass wir Menschen zählen zeigt, dass wir damit Realität abbilden. Was meine ich damit? Wir können zählen wie viele Menschen zu unserem Stamm gehören, es gibt eine Zahl für unser Alter, Temperaturen drücken wir in Zahlen aus. Wir zählen unser Geld, wie früher die Menschen vielleicht Felle gezählt haben, oder Äpfel.

In jedem Fall merkt man schon bei dieser kleinen Aufzählung, dass Zahlen in der Wirklichkeit meist nur mit einer Einheit einen Sinn ergeben. Die Zahlen selber stehen abstrakt darüber. Und das ist auch gerade das Spannende daran. Denn Zahlen funktionieren auch ohne diesen Zusammenhang mit der Wirklichkeit. Und damit sind Zahlen eine Wirklichkeit für sich selbst.

Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl ist eine Möglichkeit Zahlen zu ordnen. Hieran kann man schön sehen, wie Zahlen sich aneinanderreihen. Es gibt Nachbarzahlen, es gibt Folgezahlen, auch Vorgänger und Nachfolger genannt. Der Zahlenstrahl entwickelt sich über die ersten Schuljahre. An ihm kann man auch sehen und erkennen, was es bedeutet plus und minus zu rechnen. Auch die Multiplikation, also das Einmaleins, als Abfolge von zum Beispiel Dreierschritten kann man auf dem Zahlenstrahl gut erkennen und verstehen.

Zahlenreihen

… sind so beliebt, dass sie sogar im Kreuzworträtsel Büchern vorkommen. Auch IQ Tests haben die Ergänzung und Weiterführung von Zahlenreihen oft als Aufgabe. Die Grundlage bildet das Einmaleins. Zahlenreihen werden später aufgegriffen im Bereich Folgen und Reihen.

Dezimalsystem

Das Dezimalsystem ist unser Zahlsystem. Man nennt es auch Zehnersystem. Wir haben zehn verschiedene Ziffern aus denen die Zahlen gebildet werden und aus denen sich jede Zahl zusammensetzt. Es gibt auch andere Systeme für Zahlen, wie weiter unten beschrieben, zum Beispiel das Dualsystem, dass zum Beispiel im Bereich der Computer besser funktioniert. Zum Dezimalsystem gehören auch und vor allem die Zahlen mit Komma, Dezimalbrüche genannt. Dieses System legt auch unsere Zahlwörter fest.

Natürliche Zahlen

Mit den natürlichen Zahlen zählen wir. Seien es Bücher oder CDs, Rehe, Brote oder Geld. Natürliche Zahlen kann man noch weiter unterteilen in gerade Zahlen und ungerade Zahlen.
Ist eine Zahl natürlich, so kann man damit ganze Dinge zählen.

Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet die natürlichen Zahlen und erweitert sie um die negativen ganzen Zahlen. Hier gibt es keine halben Sachen. Ist eine Zahl ganz, dann kann sie negativ oder positiv sein, aber sie besteht nur aus einem Zahlwort.

Rationale Zahlen

Wenn man zwei ganze Zahlen durcheinander teilt, erhält man eine rationale Zahl. Diese Zahlen umfasst also alle Brüche oder Bruchzahlen.
Ist eine Zahl rational, so lässt sie sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben.

Römische Zahlen

Römische Zahlen kommen im Schulunterricht häufig in der fünften oder sechsten Klasse vor. Dies ist zumeist das erste Zahlsystem dass man kennen lernt, neben dem Dezimalsystem. Hier gibt es eine Überschneidung zwischen Geschichte und Mathematik und man sieht, dass die Idee der Zahl zwar dieselbe ist, sie aber anders aufgeschrieben wird, also einer anderen Logik folgt.

Reelle Zahlen

Unter der Menge der reellen Zahlen fasst man die rationalen und irrationalen Zahlen zusammen. Also ist jede Zahl reell, die nicht komplex ist.

Irrationale Zahlen

Diese Zahlenmenge sind alle reellen Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann. Eine Zahl, die man nicht als Bruch darstellen kann, nennt man irrational. Berühmte irrationale Zahlen sind zum Beispiel Wurzel zwei, e und pi.

Dualzahlen Hexadezimalzahlen

Dualzahlen und Hexadezimalzahlen sind wie die römischen Zahlen einfach andere Systeme zum aufschreiben von Zahlenwerten. Dual heißen die ersten deswegen, weil es nur null und eins als Ziffern gibt, also nur zwei statt wie bei uns normalerweise zehn Ziffern. Das Hexadezimalsystem hingegen kennt 16 Ziffern.

Quadratzahlen

Quadratzahlen muss man auswendig können. Je nachdem was dein Lehrer von dir verlangt, solltest du sie entweder von 1-25 oder sogar bis 32 auswendig können. Das klingt erst einmal langweilig, aber es erleichtert spätere Themen ungemein. So ist mit dem Wissen um diese Zahlen zum Beispiel das Thema der Wurzeln oder auch die binomischen Formeln viel leichter. Im übrigen ist eine Quadratzahl das, was rauskommt, wenn man eine Zahl mit sich selbst mal nimmt.

Zahlen Quadratzahl

Kubikzahlen

Diese Zahlen sind nicht ganz so wichtig, auswendig zu können. Sie entstehen wenn man eine Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert.

Primzahlen

Primzahlen sind toll. Sie haben die Eigenschaft, nur durch sich selbst und durch eins teilbar zu sein. Man kann jede Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Das nennt man Primfaktorzerlegung und ist  in der Bruchrechnen beim kürzen von Brüchen unfassbar wichtig.
Primzahlen muss man auswendig können, oder man ist auf Tabellen angewiesen. Vor allem die ersten Primzahlen im Zahlenbereich von 1-100 sind wirklich zum Auswendiglernen empfohlen.

Zahlen: Primzahlen

Weitere Zahlen

Hier möchte ich noch kurz auf bestimmte Zahlen eingehen, die eigenen Namen bekommen haben. Da wäre zum Beispiel die Zahl Pi, die Kreiszahl, die irrational ist und, wen wundert’s, bei der Berechnung von Kreisen eine Rolle spielt.
Darüber hinaus soll die Eulersche Zahl noch erwähnt werden, die im Bereich der e-Funktionen eine Rolle spielt und ebenfalls irrational ist.
Es gibt noch eine unglaublich große Menge an Zahlen mit besonderen Eigenschaften, die nach Mathematikern benannt wurden, wie zum Beispiel die Giuga Zahl bzw. Giuga Zahlen.

Komplexe Zahlen

Nach vielen Schuljahren Mathematikunterricht,
kommt irgendwann der Zeitpunkt, an dem die vorher beschriebenen
Zahlenmengen den Strahl der Zahlen lückenlos befüllt worden ist. Für die
komplexen Zahlen
braucht es jetzt eine Zahlenebene. Allerdings muss man dazu sagen, dass
nicht jeder in seiner Schulzeit mit den komplexen Zahlen in Verbindung
gerät.

Weg von den Zahlen.
Irgendwann in der siebten oder achten Klasse der Schulzeit werden Zahlen durch Buchstaben ersetzt. Dieser Ersatz für die Zahlen wird Variablen genannt. Auf diese Art und Weise kann man allgemeiner als mit Zahlen rechnen.