Ableitung

Ableitungen kann man mit Videos gut lernen und üben. Es geht um bestimmte Muster und das Erkennen und am Ende um das Einsetzen in die Ableitungsregel.

Ableitung in Mathematik in der Schule

Ableitungsregeln und Ableitungen von Funktionen im Überblick

Inhaltsverzeichnis Ableitung

Welche Ableitungsregeln gibt es im Fach Mathematik der Schule?
Was ist eigentlich eine Ableitung?
Wie werden Ableitungen geschrieben?
Wie leitet man eine Ableitung her?
Wie kommt man auf die Regeln?
Erste Ableitungen

Alle Funktionen haben Ableitungsfunktionen. Die Struktur der Funktion bestimmt dabei, welche Regeln man anwenden muss. Also muss man als erstes erkennen, welche Regel man braucht.
Die ersten Regeln im Unterricht sind die Konstantenregel, die Faktorregel, die Potenzregel und die Summenregel. Das ist der Einstieg in die Welt des Ableitens.
Die ersten vier Regeln auf einen Blick:

Ableitungsregeln_sind_Regeln_zum_Ableiten

Beispiel erste Ableitungen

Wir nehmen eine ganzrationale Funktion, wie sie oft in den ersten Stunden im Unterricht in Mathematik vorkommt:
f(x)=4x³+2x²-6x+6
Jetzt können wir als erstes sehen, dass f(x) aus vier Summanden besteht.
Wir haben eine Konstante, einen linearen, einen quadratischen Teil und der erste Summand ist ein x in der dritten Potenz.
Diese Terme könnten jeweils auch eigene Funktionen sein, also

f(x)=4x³
g(x)=-6x+6
h(x)=2x²

Also gilt hier die für Summen.
Nun guckst Du Dir die Teile von f(x) an und stellst fest, die haben Koeffizienten (die Zahlen vor dem x nennt man so). Man kann sie auch Vorfaktoren oder einfach nur Faktoren nennen.
Und wie bei ganzrationalen Funktionen üblich, ist an jedem x auch noch eine natürliche Zahl als Exponent dran.
Jetzt geht’s ans Eingemachte:

Wende die Regeln an.
Konstanten fallen weg.
Faktoren bleiben stehen und eine Potenz leitet man ab, in dem man den Exponenten mit den Koeffizienten multipliziert und danach vom Exponenten Eins abzieht.

Damit kommst Du auf:
f'(x)=12x²+4x-6
Was ich noch erwähnen sollte: aus -6x in der Ausgangsfunktion (Randfunktion) wird in der Ableitungsfunktion -6. Man kann sich hier merken; bei linearen Termen fällt das x weg.
Die weiteren Regeln in der Mathematik der Schule sind dann die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel.

Was ist eine Ableitung und was macht man mit Ableitungen?

Die Ableitung beschreibt die Steigung oder Änderungsrate ihrer Ausgangsfunktion.
Ein konkretes Beispiel:
Wenn ich f(x)=x² ableite, dann kommt f'(x)=2x raus.
Damit kann ich für jeden x-Wert ausrechnen, welche Steigung die Ausgangsfunktion f(x) hat. Setzt man also x=3 ein, dann weiß man, dass der Graph durch den Punkt P(3|9) verläuft, weil ja 9 rauskommt, wenn man die 3 in f(x) einsetzt. Und in diesem Punkt ist die Tangentensteigung: f'(x)=6

Ableitung_als_Steigung_in_einem_Punkt_des_Graphen

Immer häufiger kommen in Klausuren in Mathematik aber mathematische Fragen in einer Verpackung daher. Und auch die Exponentialfunktion. Dazu deshalb noch zwei Beispiele, was die Tangentensteigung in einem nicht mathematischen Kontext bedeutet, also im Sachzusammenhang, wie es immer so schön heißt.
f(t)=-t²+3t beschreibt die Menge oder das Volumen von Wasser in Deiner Badewanne innerhalb der ersten drei Stunden, also von t=0 bis t=3 macht die Funktion im Sachzusammenhang Sinn. Auf der y-Achse bedeutet eine Einheit 100 Liter und eine Einheit auf der x-Achse bedeutet eine Stunde.
Was bedeutet jetzt der Wert f'(0,5), also der Wert der Ableitung an der Stelle t=0,5? Erst mal rechnen:
f'(t)=-2t+3
Und wenn man 0,5 einsetzt kommt 2 raus. Aber was bedeutet jetzt die 2?
Antwort: Durch den Wasserhahn fließt in diesem Moment so viel Wasser, dass, wenn man ihn laufen lassen würde, pro Stunde 200 Liter Wasser durch ihn durchfließen würde. Das ganze ist geometrisch die Steigung des Graphen.
Ein zweites Beispiel mit einer etwas einfacheren Funktion macht dass ganze noch etwas klarer. Du gehst spazieren und gehst dabei so, dass Du Dich pro Minute immer 100 Meter von Deinem Startpunkt entfernst. Die dazu gehörige Gleichung lautet:
f(t)=100t
Setzt man jetzt t=10 ein, erfährt man, dass man nach 10 Minuten 1000 Meter gelaufen ist.
Die Ableitung lautet
f'(t)=100
Und diese 100 bedeutet jetzt, dass zu egal welchem Zeitpunkt 100 Meter pro Minute zurück gelegt werden. Und das ist der Anstieg der Strecke, wenn man so will.

Wie werden Ableitungen in Mathematik geschrieben?

In der Schule schreibt man die erste Ableitung mit f'(x) und die zweite dann mit f“(x).

Wie leitet man eine Ableitung her?

Das man mit einer Regel die Ableitung einer Funktion bestimmen kann, liegt daran, dass man diese Regel für diese Funktionsart hergeleitet hat. Dazu benutzt man den Differenzenquotienten.

Steigung_lineare_Funktion_Steigung_Differenzenquotient

Das, was auf der linken Seite steht, kennt man aus der Mittelstufe: Die Steigung einer linearen Funktion. Rechts dann die Überlegung von Newton: Wenn man eine Tangente an den Graphen irgendeiner Funktion anlegt, dann stimmt der Anstieg der Gerade mit dem des Graphen überein. Man kann diese Steigung konkret berechnen oder aber allgemein. Macht man das allgemein, dann bekommt man die Gleichung der Ableitungsfunktion heraus.

Wie kommt man auf die Ableitungsregeln?

Genauso wie man für eine Funktionsart die Ableitung herleiten kann, kann man das auch für eine Struktur oder Muster machen, mit genau derselben Methode.

Ableitung mit Scharparameter

Ist in einer Funktionsgleichung neben der Variable noch ein andrer Buchstabe drin, dann muss man aufpassen, das man nach dem richtigen Buchstaben ableitet. Die Ableitungsvariable findest Du immer in den Klammern des f. Bei fat=3at3

muss man also nach t differenzieren, nicht aber nach a. Das a steht für einen konstanten Faktor, mit dem man die Funktion verändern kann. Das t ist dafür verantwortlich, wie die f(t)-Werte ändern, wenn man das t ändert.
Die Ableitung lautet fa'(t)=9at²
Ein Gegenbeispiel: Würde die Funktion so aussehen:
ft(a)=3t³a
lautete
ft'(a)=3t³
und die zweite wäre
ft“(a)=0
dann in ft'(a) kommt ja die Ableitungsvariable gar nicht mehr vor.

Die Ableitungsregeln im Überblick

Zumeist wendet man diese Regeln intuitiv an, aber dennoch hier ein
zusammenfassendes Video. Ganz am Ende muss die Ableitung von f(a)
natürlich f'(a) und nicht f'(x) heißen. Vielen Dank an Max, dem der
Schnitzer aufgefallen ist.
Und hier eine Zusammenfassung zum download: Ableitung.pdf

Die
Ableitung ist per Definition der Grenzwert des Differenzenquotients.
Daraus lassen sich bestimmte Regeln herleiten, um sich die aufwendige
Berechnung zu sparen.

Konstantenregel

Eine Konstante ist ein Term, welcher nicht die Ableitungsvariable enthält. die Ableitung einer Konstante ist immer 0.
Beispiel: f(x) = 3 => f'(x) = 3′ = 0

Regel für Faktoren

Ein Faktor oder Koeffizient eines Terms, der die Ableitungsvariable enthält wird bei der Ableitung übernommen.
Beispiel: f(x) = 3 * x => f'(x) = 3 * x‘ = 3

Potenzregel

Die
Ableitung einer Potenz ist das Produkt des Werts des Exponenten und der
Potenz mit um 1 vermindertem Exponenten (ausgenommen der Exponent ist
0).
Beispiel: f(x) = x^79 => f'(x) = 79 * x^(79-1) = 79 * x^78
Beispiel: f(x) = 3 * x^100 => f'(x) = 3 * (x^100)‘ = 3 * 100 * x^(100-1) = 300 * x^99

Regel für Summen

Die Ableitung einer Summe ist die Summe der abgeleiteten Summanden (Zur Erinnerung: -x = + (-1)*x ).
Beispiel: f(x) = x^100 + 3x² + 4 => f'(x) = (x^100)‘ + (3x²)‘ + 4′ = 100 * x^99 + 6x + 0
Es
wird immer nach der Ableitungsvariable abgeleitet. Bei mehreren
Variablen sind diejenigen, nach denen nicht abgeleitet wird, Konstanten
oder Koeffizienten.
Beispiel: f(a) = 3a² + 4a + t => f'(a) = 6a + 4 + 0
Der Parameter t ist nicht von a abhängig und fällt daher als Konstante weg.

Kompliziertere Ableitungsregeln

Das Differenzieren mit diesen Basisableitungsregeln in einem Video. Dies ist die Basis für ganz viele Funktionen und findet sich in vielen Videos zur Kurvendiskussion wieder.

Das Thema Ableitung kann man mit Videos gut lernen und üben. Es geht um bestimmte Muster einer Funktion und das Erkennen und am Ende um das Einsetzen in die Ableitungsregel, fertig ist die Laube.

Inhaltsverzeichnis

Hinweis zum Ableitungsrechner:

Ableitungsrechner können helfen, Deine Lösung zu überprüfen und manchmal auch, auf den richtigen Lösungsweg zu kommen. Ich rate aber zu sparsamem Gebrauch. Ableitungen üben

Nummer	Funktion	Ableitung
1	fx=5×3+6×2-1,2x+2,57	f'(x)=15x²+12x-1,2
2	f(x)=52x	f'(x)=5/2
3	gx=ex+2 x	f'(x)=e^x +2 Exponentialfunktion
4	hx=-xe2×	h'(x)=e^(2x)*(-2x-1) Exponentialfunktion
5	t(x)=xe^(2x)	t'(x)=1e^(2x)+x*2e^(2x) Exponentialfunktion
6
7
8
9

Grafisches Ableiten

ist eine sinnvolle Fähigkeit – vorausgesetzt, man wird
von einer Aufgabe dazu gezungen (weil’s da drin steht) oder wenn man
sich Eigenschaften von Funktionsgleichungen merken will.
Grafische
Ableitungen haben schon so manchen Schüler zum verzweifeln gebracht,
darum soll das Ganze an dieser Stelle einmal an einem Beispiel erklärt
werden.
Als Beispiel für die Verdeutlichung der Erstellung der
ersten beiden Ableitungen soll eine rationale Funktion 3. Grades (f)
dienen.
Diese Funktion hat drei Nullstellen, ein Maximum, einen Wendepunkt und ein Minimum, in dieser Reihenfolge.
Nun soll die erste Ableitung (f‘) gemacht werden.
Hierbei ist es am einfachsten zuerst auf das Maximum und das Minimum zu schauen, denn diese beiden Punkte sind die Nullstellen in f'(x).
Der Wendepunkt ist in f'(x) ein Tiefpunkt (Extrema), da die Funktion dort eine negative Steigung hat. Soll der Y-Wert des Tiefpunktes bestimmt werden, muss der x-Wert des Wendepunktes in die 1. Ableitung eingesetzt werden.
f'(x)
ist also 2. Grades, diese hat bei einer
grafischen Darstellung in diesem Fall zwei Nullstellen und einen
Tiefpunkt.
Bei f“(x) wäre der Tiefpunkt der 1. Ableitung die
Nullstelle. f“(x) muss negativ sein, da f'(x) bis zum Tiefpunkt eine
negative Steigung hat. Da es sich bei f'(x) um eine Parabel handelt,
muss sich f“(x) von einer starken negativen Steigung bis auf Höhe des
Tiefpunktes der 1. Ableitung immer weiter dem Nullpunkt annähern, denn
die Steigung wird zum Tiefpunkt immer geringer, danach nimmt die
Steigung wieder zu. f“(x) ist also eine Gerade.
Grundsätzlich ist
es möglich, wenn es nicht sicher ist, ob die Ableitungen richtig sind
als Probe die x-Werte (z.B. 1,2,3,4,…) einzusetzen. Das dauert
allerdings in den meisten Fällen zu lange.
Wenn eine Kontrolle durchgeführt werden soll, sollte sich dabei nur auf bestimmte Sachen konzentriert werden.

Funktionen, Funktionen

Exponentialfunktion Ableitungen

Eine kleine Serie über das Ableiten von e-Funktionen, die natürliche Exponentialfunktion und weitere unterschiedlicher Art:

f(x)=e^x
f(x)=e^-x-3
f(x)=2e^x+40
f(x)=e^(2x)+1

Das
erste ist eine Vokabel: Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion: e^x bleibt sich
treu. Also bekommt man für f'(x) wieder wieder wie die Ausgangsfunktion
heraus.
Das stimmt aber nur bei e^x.
Ableitungen Exponentialfunktion Ableitungen Exponentialfunktion Exponentialfunktion Exponentialfunktion

Sinus und Cosinus: Der Kreislauf für Ableitung und Integration

Ableitungskreislauf trigonometrische Funktionen sinus kosinus

Grafische Überlegungen zur Ableitung von cosinus

alpha	0°	90°	180°	270°	360°
cos(alpha)	1	0	-1	0	1
Besonderer Punkt	Hochpunkt	Wendepunkt	Tiefpunkt	Wendepunkt	Hochpunkt
Steigung	0	-1	0	+1	0

Vergleicht
man jetzt die Werte, dich in der Tabelle in der Zeile Steigung
eingetragen habe, mit f(x) =-sin(x), so stellt man fest,
dass diese damit identisch sind.
Also liegt nichts näher, als anzunehmen, dass die Ableitung von Kosinus eben minus Sinus ist.
Herleitung der Ableitung der Kosinusfunktion
nachdem wir diese Vermutung aus der Wertetabelle gezogen haben, können wir auch beweisen, dass die Ableitung so lautet.
Das
funktioniert mit dem Differenzialquotienten. Allerdings braucht man
dafür auch die Additiontheoreme, so dass diese Herleitung nicht ganz trivial ist.

Wurzeln ableiten

Die
Ableitung der Wurzelfunktion ist entweder eine direkte Vokabel oder man
schreibt die Wurzel zunächst um und wendet dann die Potenzregel des
Ableitens an. Wenn man solche Funktionengleichungen ableitet, kann man meist beim
dritten Mal sehen, welche der Vokabeln man sicherer und schneller
anwenden kann.

Aus dem Video Ableiten der Wurzelfunktion

Die Basisfunktion ist hier f(x)=vx
Es
muss bedacht werden, dass eine Wurzel auch eine Potenz sein kann. So
ist x dasselbe wie „x hoch ein halb“. Eine Wurzel ist immer eine
Quadratwurzel, denn sie ist das Gegenteil einer Quadrierung. v ist ²v.
vx kann also auch ²v x¹ geschrieben werden und ist somit x^½. Ein weiteres Beispiel zum Verständnis:
²vx² = x ²vx²= x^2/2 = x¹ = x
Damit ist jetzt f'(x) = ½ * x^- ½
Dieses
Ergebnis kann man noch umschreiben. Wie aus den Potenzregeln
bekannt, kann eine negative Potenz auch als Bruch dargestellt werden,
wobei der Exponent dann im Nenner steht und positiv ist. Der Zähler ist
1, da x = 1*x
Somit kann die Ableitung der Basisfunktion auch so geschrieben werden:
f'(x) = ½ * 1/x^ ½
x^ ½ ist wiederum die Wurzel von x (s.o.). Also gilt:
f'(x) = ½ * 1/vx

Implizites Differenzieren

Beim impliziten Differenzieren leiten wir eine Gleichung ab, in
der x und y vorkommen – y steht dabei für eine Funktion (die durch
dieses y impliziert ist). Mit dieser Methode kann man sehr schnell sehr viele ähnlich gestrickte Funktionen Ableitungen bilden –
dazu gibts eine Video Serie.
Der Ausgangspunkt ist eine Gleichung, die
nicht nach f(x) oder y aufgelöst ist.

Beispielaufgaben

x²+y²=r²
f(x)=x^x
e^(xy)-x²+y³=0
y’=x/y

Jede
dieser Gleichungen lässt sich auch erst nach f(x) umstellen und dannbildet man die Ableitungen . Dabei muss
man sich nur immer im Klaren darüber sein, dass das y ein Platzhalter
für f(x) ist.

Erstes Beispiel

In der Ausgangsgleichung x²+y²=r² ersetzen wir in einem ersten Schritt das y durch f(x). Dann sieht die Gleichung so aus:
x²+(f(x))²=r²
der nächste Schritt beinhaltet dann schon f‘:
2x+2(f(x))*f'(x)=0
wer
die angewendeten Ableitungsregeln in diesem Fall nicht direkt erkennen
kann, der sollte sich auf jeden Fall das Video noch einmal anschauen.
Als nächstes kann man die Gleichung nach dem differenzieren noch
umstellen, so dass dort dann steht:
f'(x)=-x/y

Zweite Ableitung durch implizit ermitteln

die Ausgangsgleichung ist hierbei natürlich die erste Ableitung: f'(x)=-x/y
An
dieser Stelle will ich das ganze mal für Fortgeschrittene machen, indem
nicht erst, was eine Gedankenstütze ist, y als f(x) geschrieben wird,
sondern ich lasse das y stehen und f'(x)
als y‘ .
y’=-x/y
umgeformt sieht das ganze dann so aus:
y’=x*y^-1
und man merkt hier schon, dass diese Gleichung übersichtlicher ist als hätte man geschrieben:
f'(x)=-x*(f(x))^-1
es sind einfach deutlich weniger Klammern am Start. Noch Mal:
y“=-1*y^-1+(-x)*(-1*y*y‘)
vereinfachen der rechten Seite führt auf die Gleichung:
y“=-1/y +xyy‘ oder y“(-(y-xy‘)/y²)

Beispiel zwei zum impliziten differenzieren

Logarithmiert
man die Funktionsgleichung: f(x)=x^x führt das auf eine Gleichung, bei
der man mit diesem Verfahren schneller zu einer Lösung führt als ist
durch umformen der Funktionsgleichung möglich wäre.
ln(y)=x*ln(x)
1/y *y’=lnx+1 |*y
y’=y*(lnx+1)

Ableitungen von ln-Funktionen

zunächst einmal etwas ganz grundsätzliches, ln ist die Umkehrung der Exponentialfunktion e^x.
f(x)=ln(x) hat f'(x)=1/x
jetzt kann man diese Logarithmusfunktion ja auch mittels Parametern verändern, indem man zum Beispiel einen Faktor vor setzt:
f(x)=2*ln(x)
und nach der Faktorregel lautet die Ableitung dieser Funktion dann
f'(x)=2* 1/x oder 2/x. Die zwei ist natürlich in diesem Fall ein
Platzhalter für jede andere Zahl.
Das nächste Beispiel für eine Modifikation der ln-Funktion ist die hier:
f(x)=ln(2x)
und das ist jetzt schon eine Kettenregel, denn wir haben eine äußere
Funktion (den Logarithmus) und eine innere Funktion nämlich 2*x. Also
leiten wir als erstes LN ab und lassen den Term 2*x einfach
dort stehen, wo bei ln(x) das x steht und danach multiplizieren wir
diesem Term mit der Ableitung der Inneren in diesem Fall mit
der 2.
Nachdem wir diesen Ausdruck vereinfacht haben, staunen wir
nicht schlecht, denn f'(x)=1/x und das ist dieselbe
Ableitung als hätten wir nur die ln-Funktion ln(x) abgeleitet.
An
dieser Stelle war ich während ich das Video gedreht habe wirklich so
erstaunt, dass ich den Dreh unterbrechen musste um mich noch einmal zu
vergewissern, dass das auch alles so stimmt. Es ist erstaunlich, aber du
kannst es jederzeit selber ausrechnen bekommt das X im Argument der
ln-Funktion einen Koeffizienten, so interessiert dass die Ableitung der
ln-Funktion nicht.
Man jetzt das zweite und das dritte Beispiel
kombiniert, kann man auch sehen, die Ableitungen der beiden Funktionen
2ln(x) und 2ln(3x) auch identisch sind.
Die nächste Variation der ln-Funktion, die in dieser Liste von Videos dran kommt ist:
f(x)=ln(x²)
hier gehe jetzt einen anderen Weg als in dem Video, denn wenn du dich
mit den Logarithmengesetzen aus kennst, wirst du erkennen, dass der
Exponent des x auch als Faktor vor den kompletten Logarithmus
geschrieben werden kann. Das ist das fünfte Logarithmusgesetz. Daraus
ergibt sich dass die gesamte Funktionsgleichung jetzt so aussieht:
f(x)=2ln(x) und die Ableitung dieser ln-Funktion kennst du schon von oben.
Natürlich
kann man jeder dieser oben genannten ln-Funktionen auch noch weitere
Summanden hinzufügen. Dann stellt man fest, dass die Summenregel auch
hier gilt.
Anders gelagert ist der Fall hier:
f(x)=(ln(x))²,
denn hier ist die innere die Logarithmusfunktion und die
äußere Funktion ist das Quadrat. Hier greift kein Logarithmusgesetz. Für
die Lösung dieser Ableitung schau dir das Video zur Einführung in die
Ableitungen von ln-Funktionen an.

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