Exponentialfunktion

Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion (e-Funktion) als Herausforderung:Die Exponentialfunktion begegnet in der Schule als e-Funktion vielen als schwieriges Thema.Auf dieser Seite bekommst Du alle Videos zu dieser für Dein Abitur wichtigen Funktion auf einen Blick.

Inhaltsverzeichnis der Videos zur Exponentialfunktion

• Ableitung Exponentialfunktion
• Kurvendiskussion Exponentialfunktion
• Stammfunktion Exponentialfunktion
• Nullstellen Exponentialfunktion
• Umkehrfunktion Exponentialfunktion
• Die eulersche Zahl e

Das Schema einer Einstiegsaufgabe zur Exponentialfunktion ist also am Beispiel von Bakterien:

Eine Art Bakterien verdoppeln sich oder wachsen um 30 Prozent, wenn man etwas mit den Bakterien tut. Die typischen Fragen sind: wann ist bestimmte Anzahl Bakterien vorhanden? Wieviele Bakterien gibt es zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Funktionsgleichung der Exponentialfunktion

Die Funktionsgleichung ist ein bisschen anders als bei der Gleichung anderer Funktionen, denn die Variable steht im Exponenten.

Mit dieser Funktionsgleichung kann man exponentielles Wachstum und Zerfall beschreiben.

Ein Beispiel

Die Exponentialfunktion sieht so aus

f(x)=c*a^x

c und a stehen in dieser Gleichung am Beispiel einer Kultur von Bakterien für den Bestand an Bakterien zu Beginn und das a in der Gleichung steht für die Geschwindigkeit, mit der die Bakterien sich vermehren.

Das x in der Gleichung steht für

Ein konkretes Beispiel: c=200 a=2 dann verdoppeln sich 200 Bakterien alle x. So, und was sagt jetzt das x? Das steht in der Funktionsgleichung der Exponentialfunktion meist für einen Zeitraum, zum Beispiel Tage, Wochen oder Monate.

Lösung der Gleichung, die zu einer Exponentialfunktion gehört

In fast jeder Aufgabe zur Exponentialfunktion muss man die Lösung einer Gleichung finden. Such man aus der Funktionsgleichung das x kommt man um den Logarithmus nicht herum.

Das Thema Lösung der Gleichung einer Exponentialfunktion ist so breit, dass ich dafür ein eigenes Inhltsverzeichnis gemacht habe.

Die Zahl e wird auch die eulersche Zahl genannt und ist gerundet 2,718281828. In fast allen Videos zur Exponentialfunktion kommt die Zahl e vor. Das liegt daran, dass sich bei der Ableitung und der Bestimmung der Stammfunktion von Exponentialfunktionen große Vorteile ergeben. Darüber hinaus lässt sich jede Potenz als Potenz mit der Basis e schreiben.

Ableitung Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen kommen im Bereich Kurvendiskussion in vielen Arten vor und man braucht alle Ableitungsregeln um im Abitur die Aufgaben lösen zu können.

Aus diesem Grund: Ableitung Exponentialfunktionen Übersicht

Kurvendiskussion Exponentialfunktion

Zum Bereich Kurvendiskussion mit Exponentialfunktionen

Stammfunktion Exponentialfunktion

Zur Übersicht Stammfunktionen mit Exponentialfunktionen mit allen Integrationsregeln

Nullstellen Exponentialfunktion

Die Nullstellen von Exponentialgleichungen habe ich zusammengefasst unter dem Stichpunkt „Lösung Gleichung Exponentialfunktion“

Umkehrfunktion Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen eignen sich zur Darstellung von exponentiellem Wachstum (z.B. Bakterienkulturen) und exponentiellem Zerfall (z.B. Radioaktivität oder Abkühlung). Dabei ist der Unterschied zu den im Unterricht bisher bekannten Funktionen der, das das x im Exponenten steht.

Videoinhaltsverzeichnis zur Exponentialfunktion

Einführung mit Aufgaben

Basisvideos mit Grundlagenwissen, was man immer wieder anwenden muss

Exponentialfunktionen in Kurvendiskussionen

Exponentialfunktionen und Analysis

Einführung in Exponentialfunktionen mit Aufgaben

Einführungsaufgabe Luftdruck

Aus einem gegebenen Anfangswert und einem Wachstumsfaktor wird eine Exponentialfunktion aufgestellt. In der ersten Aufgabenstellung ist das genau genommen ein Abnahmefaktor oder sinkender Wachstumsfaktor.

Dann kann man daraus eine Wertetabelle erstellen, um zu wissen, welchen Wert die Funktion bei einem gegebenen x-Wert annimmt.

Oder aber man bekommt die Aufgabenstellung den x-Wert zu einem gegebenen y-Wert zu berechnen. Ebenso beliebt wie der Luftdruck ist dabei auch die:

Einführungsaufgabe Lichtintensität

Die nächste Aufgabe beschäftigt sich damit, wie man aus einer Werrtetabelle die zugehörige Exponentialfunktion aufstellt – sehr beliebte Aufgabe:

Exponentielles Wachstum und Funktion aus Wertetabelle

Das ganze noch ein wenig weiter verkürzt zeigt das nächste Video in dem eine exponentielle Wachstumsfunktion aufgestellt wird und zwar:

Wachstumsfunktion aus zwei Punkten

Basisvideos mit Grundlagenwissen, was man immer wieder anwenden muss

Logischerweise als erstes, weil es einfach immer wieder vorkommt:

Exponentialgleichungen Übersicht

In Funktionen dieser Art kommen ja z.B. Wachstumsfaktor oder Wachstumsrate, Anfangswert oder Anfangsbestand vor. In e-Funktionen kann man sogar noch ein paar Parameter mehr finden und man kann, wie im Video gezeigt, daraus schon einiges über die vorliegende Funktion erfahren.

Parameter und ihre Auswirkungen auf den Funktionsgrafen

Jede Funktion dieser Art kann dann auch noch mit einer anderen Basis geschrieben werden. Besonders beliebt ist dabei die Basis e.

Basiswechsel

Exponentialfunktionen, die stetig sind und in einem bestimmten Intervall differenzierbar, kann man auch umkehren:

Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion

Umkehrfunktion e-Funktion mit Bruch

Eine Übung zwischendurch zeigt dann, wie man einen Term in eine Exponentialfunktion umformen kann:

Term umformen zur e-Funktion

Exponentialfunktionen in Kurvendiskussionen

Auch in Kurvendiskussionen kommen Exponentialfunktionen vor – hier wird dann abgeleitet, und es werden e-Gleichungen (Link siehe oben) gelöst, damit man auf die Extrema und Wendepunkte kommt:

Exponentialfunktion Kurvenschar Ableitungen und Extrema

Exponentialfunktion ohne e: Ableitung und Herleitung von e

Ableitung ohne e

Exponentialfunktionsschar Asymptote

Exponentialfunktionsschar – Kurvendiskussion

Gebrochene e-Funktion Kurvendiskussion

e-Funktion Extrema

e-Funktion Wendepunkt

e-Funktion Wendetangente

Asymptote

Ableitung Exponentialfunktionsschar

Exponentialfunktion mit Parametern Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung

Monotonie e-Funktion

Koordinatenschnittpunkte e-Funktion

Kettenregel – Anwendung auf eine e-Funktion

Ableitung e-Funktionen

Ableitungen gebrochene E-Funktion

Ableitungen und Hochpunktsberechnung e-Funktion Produkt- und Kettenregel

Ableitungen e-Funktionsscharen

Parametrisierte E-Funktion Ableitung mit Parameter

3e^x/(1+e^x)² Ableitung gebrochene verkettete e-Funktion

e-funktion ableiten Produktregel und Kettenregel

Rekonstruktion e-Funktion

Tangente an e-Funktion

Schnittstelle von Tangente an e-Funktion und x-Achse allgemein

Exponentialfunktion in der Analysis

In der Analysis/Integralrechnung sieht es ähnlich aus wie im Bereich der Kurvendiskussion: Auch hier macht man erst die ganzrationalen Funktionen und dann schließen sich irgendwann die Funktionen mit der Variable im Exponenten an:

Flächenberechnung mit Exponentialfunktion

Integral Exponentialfunktionsschar mit Probe

Abiturklausur Analysis Exponentialfunktion 2007 2A

Stammfunktion e-Funktion

Partielle Integration e-Funktion

Integration mit Substitution e-Funktion

Parametrisierte gebrochene E-Funktion Stammfunktion mit Parameter Substitution