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Integralrechnung erfordert viel Auswendiglernen. Die Videos zur Integralrechnung sollen Dich dabei unterstützen, alle Rechentechniken, alle Aufgabenformate, alle Funktionstypen, die in der Schulmathematik vorkommen, kennen und auswendig zu lernen.
Integrale sind der eine Bereich der Analysis, Differentialrechung der andere.
Die ersten Stunden in der Integralrechnung in der Schule beschäftigen sich logischerweise mit den Grundlagen. Wir fangen mal mit einem kleinen Spaß an:
So finden sich hier zum Beispiel auch die Integrationsregeln. Und das, was man gewöhnlich am Anfang oder in Einführungsphase beim Thema Integrale in der Schule so geboten bekommt.
Ein kurzer Überblick über diese Themengebiete findet sich jetzt also hier:
Die Einführung in das Thema Integrale fand früher hauptsächlich theoretisch mit dem Flächeninhalt unter Funktionsgraphen und seiner Annäherung durch die Obersumme und die Untersumme statt.
Heute geht der Trend immer mehr dahin, diese Berechnung im Sachzusammenhang von Änderungsraten zu betrachten.
Das grafische integrieren oder Aufleiten schließlich häufig an. Das wird deswegen gemacht, weil man im Bereich der Differenzialrechnung der bereits das grafische ableiten betrieben und erklärt hat. Hier kann man auch dem Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Ausgangsfunktion oder Randfunktion begreifen.
Die restlichen Themenbereiche sind Rechenregeln zum bilden von Stammfunktionen bei unterschiedlichen Strukturen von Funktionen.
Bestimme den Inhalt der abgebildeten Fläche, in diesem Fall sind die Grenzen ablesbar, das heißt, das Video beschäftigt sich hauptsächlich mit dem Hauptsatz der Integralrechnung zur Bestimmung des Flächeninhalts.
Bestimmt werden soll der Inhalt der abgebildeten Fläche, die im Intervall von 0 bis 2 verläuft und vom Graphen der quadratischen Funktion f(x) = x^2 + 2x begrenzt wird. Wir müssen also das bestimmte Integral eben dieser Funktion ermitteln. Bei der Lösung dieser Aufgabe werden mir mit dem Hauptsatz der Integralrechnung in Kontakt kommen, der besagt, dass eine Fläche ermittelt werden kann, indem man in die Stammfunktion F(x), die wir gleich bilden werden, zunächst die obere Grenze 2 für x einsetzt – und dann von diesem Ergebnis den Wert subtrahieren, den wir erhalten, wenn wir für x die untere Grenze, also 0, einsetzen. Kurz und bündig lautet die Formel für den Hauptsatz A = F(b) – F(a), also Fläche (Area) ist gleich „Obere Grenze minus untere Grenze“. Du weißt ja, dass wir das Integralzeichen, das man etwas léger und „unter Brüdern“ auch als „Integralschlange“ bezeichnen kann, mit der oberen und der unteren Grenze notieren, darauf folgt unsere gegebene Funktion f(x) = -x^2 + 2x, und das „dx“ bedeutet einfach nur, dass eben das x (und nicht etwa das z oder das k) unsere Integrationsvariable ist. Merke dir als Eselsbrücke einfach: „wir integrieren durch x“ – so gewöhnst du dich schnell an das „dx“. Unsere Stammfunktion lautet F(x) = -1/3x^3 + x^2. Du weißt ja, dass du zum Exponenten, also zur Hochzahl, die Zahl 1 addieren musst – daher nennt man das Integrieren ja auch „Aufleiten“. Und dann musst du den Kehrwert des neuen, um 1 erhöhten Exponenten vor das x schreiben und beim zweiten Glied „2x“ unserer Funktion auch noch mit der Vorzahl 2 multiplizieren. Und diese Rechenschritte führen uns zielsicher zu unserer Stammfunktion (oder auch „Aufleitung“) F(x) -1/3x^3 + x^2. Das +c, das ja eine mögliche Konstante angibt, die beim Ableiten wegfällt, haben wir beim unbestimmten Integral benötigt – beim bestimmten Integral ist es hingegen nicht von Belang. Vergiss nicht, dass du die Stammfunktion F(x) in eckigen Klammern notierst und die obere und untere Grenze am rechten Ende eben dieser eckigen Klammer noch einmal notierst. Nun setzen wir fröhlich die obere Grenze 2 für x ein und subtrahieren dieses Ergebnis von jenem Ergebnis, das wir beim Einsetzen der unteren Grenze, also x=0, erhalten. Auf diese Weise gelangen wir zum Endergebnis 1 1/3 Flächeneinheiten (FE)!
Wenn die Nullstellen die Grenzen sind, spricht man auch vom Flächeninhalt, der vom Funktionsgrafen und der x-Achse (Abszisse) eingeschlossen bzw. Begrenzt wird:
Kommen wir nun zu einem Aufgabentyp, der sehr gerne in Klausuren drankommt. Auf den ersten Blick bekommst du vielleicht einen Schreck, wenn du siehst, dass uns eine Funktion f(x) gegeben ist, nicht aber die obere und die untere Grenze. Somit weißt du gar nicht, in welchem Intervall die vom Graphen eingeschlossene Fläche verläuft. Doch du wirst auch in der Klausur nicht im Regen stehen gelassen, denn es folgt stets die Zusatzinformation, dass die Grenzen die Nullstellen unserer Funktion sind. Nullstellen sind ja genau jene Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Und da y hier natürlich stets 0 ist, spricht man von Nullstellen.
Da unsere Funktion f(x) = x^2 – 3x + 0,75 eine quadratische Funktion ist, können wir die Nullstellen mithilfe der pq-Formel ermitteln. Auch zur pq-Formel gibt es hier bei Oberprima Videos. Hier rechnen wir einfach rapide weiter und gelangen zu den Nullstellen x1 = 2,72 und x2 = 0,275. Und voilà – genau diese beiden Nullstellen sind die Grenzen, in denen das Integral verläuft. Die obere Grenze liegt bei x1 = 2,72 und die untere bei x2 = 0,275.
Die Stammfunktion F(x) lautet 1/3x^3 – 3/2x^2 + 0,75x und verläuft wie gesagt in den Grenzen von 2,72 bis 0,275. Dies führt uns durch die Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung zum Ergebnis von 2,4 Flächeneinheiten.
Wenn sich in einem gegebenen Intervall eine Nullstelle befindet:
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 – 2x + 2, die oberhalb der x-Achse im Intervall von 0 bis 1 verläuft. Da die vom Graphen eingeschlossene Fläche vollständig unterhalb der x-Achse verläuft, liegt ein sogenannter orientierter Flächeninhalt vor, der uns zu negativen Zahlen als Teilergbnis führt – aber natürlich erhalten wir letzten Endes eine positive Zahl als Flächeneinheit, denn negative Zahlen als Ergebnis für einen Flächeninhalt sind einfach ein No Go!
Die Stammfunktion F(x) laute 1/3 x^3 – x^2 + 2x, um schließlich über den Hauptsatz der Integralrechnung, in unserem Beispiel F(1) – F(0) zum Ergebnis von 1 1/3 FE zu gelangen.
In der nächsten Aufgabe arbeiten wir mit einer Funktion, die gar nicht so viel anders aussieht als die aus der vorangehenden Aufgabe, nämlich mit f(x) = -x^2 + 4x -2. Die Fläche, die von dem Graphen dieser Funktion begrenzt wird, verläuft im Intervall I = [0;2]. Ein Teil der Fläche verläuft oberhalb der x-Achse, ein anderer hingegen unterhalb. Somit muss der Graph auch die x-Achse berühren und es müssen Nullstellen vorliegen. Und jetzt kommt’s: Wir müssen das Intervall schachteln – und zwar von der unteren Grenze 0 bis zur Nullstelle und dann von genau dieser Nullstelle bis zur oberen Grenze 2. Über die pq-Formel ermitteln wir die Nullstelle von f(x): x = 0,59. Wir benötigen nur diese eine Nullstelle, da nur sie im gegebenen Intervall liegt. Schreiten wir also zur Intervallschachtelung voran und wählen fürs erste Integral zunächst das Intervall I1 = [0,59;0] und addieren es dann mit dem zweiten Integral im Intervall I2 = [2;0,59].
Die Stammfunktion lautet F(x) = -1/3 x^3 + 2x^2 – 2x. Wir müssen jeweils den Hauptsatz der Integralrechnung anwenden und die beiden Flächeninhalte dann miteinander addieren, um schließlich zum Ergebnis 0,55 + 0,93 = 1,48 FE zu gelangen.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung wird in Abiturklausuren immer häufiger abgefragt. Dabei ist die Zusammenfassung relativ kurz:
Die Fläche unter einer Kurve ist genauso groß wie die Fläche unter dem Rechteck, bei dem die eine Kantenlänge die Länge des Intervalls ist und die andere der durchschnittliche y-Wert in diesem Intervall.
Dazu speziell eine Aufgabe, wie Sie auch im Abitur im Teilbereich Analysis berechnet werden kann, und darunter noch mal ein wenig mehr zum allgemeinen Verständnis.
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung sagt in meinen Worten das, was in diesem Video zu sehen ist ;)
In diesem Beitrag sammle ich alle Links zu besonders wichtigen Aufgabentypen aus der Analysis/Integral-Rechnung in Zusammenhängen oder einfach Aufgaben, bei denen es immer wieder zu Schwierigkeiten kommt und darunter findest Du dann eine Zusammenstellung von Themenblöcken wie Einführung, Grundintegrale, die Integrationsregeln und Ihre Anwendung (Rechnungen und Rechenregeln) in bestimmten und unbestimmten Integralen aller Funktionsarten.
Auflistungen zu weiteren Videos zu den einzelnen Funktionstypen findest Du auf diesen Seiten
Und dann, wie angekündigt, die Liste der Kernthemen aus dem Bereich Analysis / Integralrechnung. Folgende Themengebiete sind bislang ausgeführt.
In diesen Videos geht es
um ein paar Spezialvokabeln aus dem Bereich der Integralrechnung…
Intervalladditivität und wie man Integrale richtig stellt, die mutwillig
mit der oberen Grenze unten ausgestattet wurden: Hinweis von Jo: Bei
1:50 schreibe ich hoch 3 hin, obwohl ich hoch 4 sage (hoch 4 ist
richtig!) und in der Zeile darunter benutze ich auch hoch 4 – nur das
niemand verwirrt ist.
Link zu allen Videoseiten mit Inhalten zur Integralrechnung in der Nachhilfe
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