Nullstellen berechnen

Die Nullstelle einer Funktion ist der x-Wert von einem Punkt auf dem Graphen einer Funktion, bei dem f(x)=0 ist. Eine Funktion kann mehrere Nullstellen haben. Viele denken, dass die Nullstelle ein Punkt ist, aber „stelle“ in Nullstelle sagt, dass eben von dem Punkt nur das x gemeint ist. Das Null sagt dabei aber schon, dass der y-Wert der Nullstelle gleich 0 ist.
Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man die Gleichung der Funktion gleich 0.

Alle Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Die Verfahren zur Nullstellen-Bestimmung ganzrationaler Funktionen sind überwichtig für den Erfolg im Bereich der Kurvendiskussion, immer dann nämlich, wenn man Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Polstellen etc. berechnen muss – natürlich sind diese Verfahren in den Videos auch für die Gleichungslehre notwendig:

Diese Gleichungen sind ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion

Verfahren Nr. 1 Gleichungen auflösen

Die einfachste Art der Nullstellenbestimmung ist das auflösen von Gleichungen. Dieses Verfahren kann man immer dann anwenden, wenn die ganze Gleichung nur eine Form von x enthält. z.B. gibt’s in Gleichung wie x+3=2x-5 nur x und nicht auch noch x² oder in der Gleichung x²=3x²+4 gibt’s ² und keine andere Form von x. Direktlink zum Video.

Verfahren Nr. 2 – x ausklammern

Wenn die Gleichung zwei Sorten x enthält und nur die 0 als Zahl, z.B. x²+2x=0, dann kannst Du ein x (und zwar das in der niedrigsten Potenz) ausklammern. Die erste Nullstelle ist dann immer x=0 und für die andere Nullstelle kannst Du, wenn Du die Klammer gleich 0 setzt, weiterrechnen, entweder mit dem Verfahren Nr. 1 oder mit der pq Formel.

Dazu auch noch mal ausführlich der Satz vom Nullprodukt :

Nullstellen quadratischer Funktionen

die pq-Formel oder wahlweise auch die Mitternachtsformel

Nullstelle berechnen mit Substitution

Folgende Strukturen benötigen Substitution :

11x^4+11x^2+11=0
11x^6+11x^3+11=0
11x^8+11x^4+11=0

Oder anders gesagt: Immer wenn der Exponent des einen x doppelt so groß ist wie der des anderen x und noch eine Zahl ohne x außer der Null am Start ist, benutzt man die Substitution mit anschließender PQ Formel

Verfahren Nr. 5 Polynomdivision

Die Polynomdivision hat schon einen eigenen Artikel mit einigen Sonderfällen.
Wann kann man die Polynomdivision anwenden? Ob man die
Polynomdivision oder ein anderes Verfahren zur Berechnung der Nullstelle
verwendet, zeigen diese Videos. Kurz: Das hängt von der Art der
Polynome in der Gleichung ab und ob man eine Nullstelle raten kann, also
ob es eine ganzzahlige Nullstelle gibt. In der Schule gilt
meist: Die Polynomdivision wird häufig eingesetzt, wenn Polynome dritten
Grades in der Gleichung der Funktion auftreten.

Verfahren Nr. 6 Newtonsches Näherungsverfahren

Nach dem Motto: „Wenn nix mehr hilft, hilft das Newtonsche Näherungsverfahren„.
Oder aber ein anderes Näherungsverfahren

Und dann noch ein Spezialfall – die sogenannte Nullstellenform – die so heißt, weil man die Nullstellen in dieser Funktionsschreibweise einfach ablesen kann.

Nullstelle und Nullstellen

Nullstellen und Polynome
Was heißt Polynom?

Ein Polynom so etwas hier: x³+3x²-2x+5
Vielleicht hilft Dir das hier beim Erinnern an die Bedeutung von Polynom: Polynom = mehr Namen. Das erste Polynom, mit dem man sich in der Schule beschäftigt, ist die lineare Funktion.
Hier folgt ein Bild Nullstelle Polynom linear
Daran schließt sich die quadratische Funktion oder Polynom vom Grad 2 und sie kann entweder keine Nullstellen, eine Nullstelle oder 2 Nullstellen haben.
Nullstellen quadratische Funktion

Wie viele Nullstellen hat meine Funktion?

Man kann sich an dieser Stelle schon merken: Der höchste Exponent der Terme im Polynom zeigt an, wie viele Nullstellen die Funktion haben kann.
Polynomdivision und Nullstelle

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Horner Schema

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Das Horner Schema – vielseitig verwendbar Mit dem Horner Schema kann man Funktionswerte von Polynomfunktionen – also von ganzrationalen Funktionen

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Linearfaktorzerlegung

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Linearfaktorzerlegung abspalten Linearfaktor Produkdarstellung Produkt aus Linearfaktoren Linearfaktorzerlegung oder Linearfaktordarstellung Ein Polynom, in diesem Video eines dritten Grades, soll in

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Das Newtonsche Näherungsverfahren im Video: Wenn’s keine ganzzahligen Nullstellen gibt oder wenn’s ausdrücklich verlangt wird (also als technische Übung) empfehlenswert:

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