Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen, was ist das eigentlich?

Das sind die Funktionen, die als Graphen eine Parabel haben. Mathematisch korrekt kann man auch sagen, dass quadratische Funktionen Polynomfunktionen zweiten Grades sind. Sie haben

• die allgemeine Form y=ax²+bx+c und
• die Normalform y=x²+px+q und
• die Scheitelpunktform y=a(x-xs)²+ys und
• die Nullstellenform y=a(x-x1)(x-x2).

Das war jetzt ganz allgemein, viel tiefer tauchst du mit unseren Videos in die Welt der quadratischen Funktionen ein.

Quadratische Funktionen sind zumeist Thema in Mathematik in der Schule in der achten oder neunten Klasse.

In diesem Beitrag geht es hauptsächlich darum, wie so eine quadratische Funktion aussieht und was man damit im allgemeinen berechnet.

Wie man mit quadratischen Funktionen rechnet findest du im Beitrag quadratische Gleichungen.

Los geht es mit den quadratischen Funktionen zumeist mit den Quadratszahlen. Multipliziere ich eine Zahl mit sich selbst, so erhalte ich die Quadratszahl zu dieser Zahl. Wenn ich das jetzt nach und nach mache mit jeder Zahl und die Ergebnisse in einer Wertetabelle festhalte dann die Punkte aus der Wertetabelle in ein Koordinatensystem übertragen, dann komme ich zum Graphen der Normalparabel oder zum Graphen der grundlegenden quadratischen Funktion y=x²

Addieren wir jetzt zu jedem Y Wert in dieser Wertetabelle eine beliebige Zahl, zum Beispiel 2, so erhalten wir eine verschobene quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung y=x²+2. allgemein kann man für eine in Y Richtung verschobene quadratische Funktion auch schreiben y=x²+c. Dabei ist c ein Parameter.

Wir können das quadratische Element auch mit einer Zahl multiplizieren, allgemein sieht das ganze dann so aus:y=ax² und uns dann anschauen, was dieser Parameter a mit dem Graphen der quadratischen Funktionen macht.

Grundsätzlich würde ich dir hier vorschlagen, der schon mal zu merken, dass für positive Werte von a die Graphen der quadratischen Funktionen nach oben geöffnet sind. Ist der Wert von a negativ, dann sind die Graphen nach unten geöffnet.

Beispiel quadratische Funktion a größer eins

Wenn vor dem x² ein Faktor steht, der größer ist als eins, dann wird dir jeder Y Wert mit diesem Wert mal genommen. Der Graph der Funktion ist in Y Richtung gestreckt und zwar nach oben.

Beispiel quadratische Funktion null kleiner a kleiner eins

Steht vor dem x² eine Zahl, die zwischen null und eins liegt, so sind die Graphen solcher quadratischen Funktionen in Y Richtung gestaucht.

Beispiel quadratische Funktionen mit A gleich -1

In diesem Beispiel ist die quadratische Funktion an der x-Achse gespiegelt worden.

Beispiel quadratische Funktion null größer a größer -1

Diese quadratischen Funktionen sind gestaucht und nach unten geöffnet.

Beispiel quadratische Funktionen A kleiner -1

diese Parabeln sind nach unten geöffnet und gestreckt.

Weitere Eigenschaften von quadratischen Funktionen

man kann die Graphen von quadratischen Funktionen nicht nur in Y Richtung verschieben und strecken oder stauchen, sondern auch entgegengesetzt der x-Achse verschieben.

Schauen wir uns mal den Graphen und die Wertetabelle der quadratischen Funktionsgleichung: y=(x-1)² an.

Beispiel Wertetabelle und Graph

Wenn man also eins vom X abzieht, bevor man es quadriert, verschiebt das den Graphen der quadratischen Funktionen um eine Einheit nach rechts. Der Scheitelpunkt der Normalparabel, der vorher im Ursprung lag, liegt jetzt im Punkt S(1|0).

Um sich jetzt anzugucken, was der Parameter b in der allgemeinen Form der quadratischen Funktionen mit dem Graphen dieser Funktionen macht, brauchen wir die Scheitelpunktsform. Die sieht so aus:

y=a(x-xs)²+ys

wie man von der allgemeinen Form der quadratischen Funktionsgleichung y=ax²+bx+c auf die Scheitelpunktform kommt, zeige ich dir in einem anderen Beitrag.

Anwendungen von quadratischen Funktionen

In der Oberstufe, aber auch schon, wenn das Thema quadratische Funktionen in der Schule behandelt wird, kommen Extremwertaufgaben dran, bei denen ein quadratische Zielfunktion aufgestellt werden muss, von der man dann den Scheitelpunkt bestimmt.