Satz von Bayes

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Wahrscheinlichkeit Satz von Bayes

Satz von Bayes mit Baumdiagramm

Baumdiagramm inverser Baum

Die Formel von Bayes kommt immer dann zur Anwendung, wenn wir es mit einem inversen oder invertierten Baumdiagramm zu tun haben:

Hinweis von Matthias: in der Mitte soll 90p/(85p+5) gezeigt werden und da, wo ich es zeige steht im Nenner und in den Schritten vorher (aber dem Zeitpunkt wo die Formel von Bayes ins Spiel kommt) ein Mal -also das Mal hinter 0,9p im Nenner muss durch ein + ersetzt werden… Und dann noch ein verbaler Schnitzer, nämlich bei Min 9:11 steht 1/3

Aus dem Video Satz von Bayes

Aufgabe: p [0;1] Personen sind am M-Virus erkrankt. Bei M-Kranken weist ein Test 90 % der Kranken richtig aus. Aber auch die gesunden werden zu 5 % als krank ausgewiesen. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven M-Test auch tatsächlich krank ist 90 p/85p+5 ist.

Zur Veranschaulichung sollte man sich hierbei eines Baumdiagramms bedienen.

Hierbei gibt es zunächst die zwei möglichen Fälle infiziert oder nicht-infiziert. Davon ausgehend ergeben sich die beiden Möglichkeiten, dass jemand, der krank ist, positiv oder nicht positiv getestet wird, sowie, dass jemand, der nicht krank ist, positiv oder nicht positiv getestet wird. Infiziert sind hierbei p %, nicht infiziert 1-p %.

Da 90 % der Infizierten auch einen positiven Test aufweisen, liegt hier eine Wahrscheinlichkeit von 0.9 vor, während die Gegenwahrscheinlichkeit entsprechend 0,1 beträgt. Die nicht infizierten Personen sind zu 5 %, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.05 positiv, während 95 % der nicht infizierten Personen auch wirklich nicht erkrankt sind (Wahrscheinlichkeit von 0.95).

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand infiziert ist, der positiv getestet wurde, wird nun mit der Formel von Bayes errechnet. Dazu wird die Zahl der Personen, die tatsächlich infiziert sind und positiv getestet wurden durch die Gesamtzahl der positiv getesteten geteilt, wobei in letzterer Menge auch jene enthalten sind, die positiv getestet wurden, obwohl sie gar nicht infiziert sind.

Es ergibt sich die folgende Gleichung: Pmp= (0.9p)/ (0.9p)(1-p)0.05

= (0.9p)/ (0.9p) 0.05-0.05p = (0.9p)/ 0,85p*0.05

Erweitert man diese Gleichung nun um den Faktor 100 ergibt sich 90 p/85p+5, womit gezeigt wurde, dass dies die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand mit einem positiven M-Test auch tatsächlich krank ist.

Nun muss gezeigt werden wie groß p sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit, mit der jemand mit einem positiven Test auch tatsächlich krank ist, 90 % oder mehr ergibt.

Da die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegen muss, nimmt man nun 0,9 zum Rechnen und löst die Gleichung nach p auf.

0,9 < 90 p/85p+5 | * 85p+5

= 76,5p+4,5 < 90p | -76,5p = 4,5 < 13,5 p | :13,5 = 1/3 < p

Folglich muss die Grundwahrscheinlichkeit, dass die Bevölkerung erkrankt ist weniger als 1/3 sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Test auch erkrankt ist gleich oder mehr als 90 % hoch ist.

Baumdiagramme Video-Übersicht Bedingte Wahrscheinlichkeit Übersicht

und hier zwei weitere Videos zum Thema, allerdings ohne Parameter. Einmal mit der Berechnung über die Formel:

und einmal über das inverse Baumdiagramm: