Quotientenregel

Quotientenregel Basisvideo

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Herleitung Quotientenregel

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Herleitung Quotientenregel aus Produktregel

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Ableitung Quotientenregel und anders

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Ableitung Ketten- und Quotientenregel

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Ableitung Ketten und Quotientenregel ln 1

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Ableitung Ketten und Quotientenregel ln 2

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Ableitung Quotientenregel Spezial

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Mit der Quotientenregel bildet man die Ableitung einer Funktion mit Zähler und Nenner, also gebrochenen, zumeist gebrochen-rationalen Funktionen.

Ableitung_Analyse_der_Funktion_Zaehler_Nenner

Wenn wir das festgestellt haben, dann können wir fast sicher sein, dass wir sie anwenden müssen:

Die Quotientenregel

Ableitung_Quotientenregel_Formel

Hinweis von Markus: Die Quotientenregel ist ja eine Ableitungsregel, und deswegen muss natürlich ganz am Anfang in der Zeile, in der die Regel das ganze Video über steht, stehen: (u(x)/v(x))’= und dann kommt die Regel, die aber korrekt ist;)

Weitere Videos zur Quotientenregel

Weils häufig zu Verwirrung führt und in manchem Test zu Ableitungsregeln vorkommt, die

  • Herleitung der Quotientenregel

Herleitung_Ableitung_Quotientenregel_aus_Produktregel

Genauso wie also die Multiplikation und die Division miteinander verwandt sind, ist also auch die Produktregel unserer Ableitungsregel für Quotienten ähnlich.
Im ersten Schritt der Herleitung schreiben wir den Quotienten um. Dabei bekommt die Nennerfunktion einen negativen Exponenten. Jetzt steht da ein Produkt. Beim zweiten Faktor muss man allerdings aufpassen, denn der ist jetzt verkettet.

Wir wenden also auf den umgeformten Term die Produktregel an. Das passiert schon in der zweiten Zeile. Danach wird erst mal nur die Klammer aufgelöst. Im nächsten Schritt schreiben wir wieder um: die negativen Exponenten verschwinden und es tauchen wieder Brüche auf. Die machen wir noch schnell gleichnamig und schreiben sie zusammen auf einen Bruch und schon steht da die Formel für die Quotientenregel!

Manchmal kann man die Ableitung mit der Quotientenregel umgehen:

  • in dem man, wie in diesem Spezialfall, vorher umformt

Natürlich kann die Quotientenregel auch gepaart mit weiteren Ableitungsregeln auftreten, wie in diesen Beispielen:

  • Kettenregel Produktregel und Quotientenregel auf einmal
  • Quotientenregel in der inneren Funktion Ableitung

Die erste Verwendung der Regel im Zusammenhang einer größeren Aufgabe ist dann die Nutzung in der Kurvenuntersuchung :

  • Erste und zweite Ableitung gebrochenrationale Funktion Schemavideos
  • Kurvendiskussion Gebrochenrationale Funktion f(x)=(x^4-5x^3+7x^2-3x)/(x^2-2x)

Und auch, wenn Scharparameter ins Spiel kommen – die gebrochenrationale Funktion wird mit der Quotientenregel abgeleitet:

  • Ableitung gebrochenrationale Kurvenschar
  • Gebrochenrationale Funktionsschar Nr. 1 Parameter im Nenner
  • Gebrochenrationale Funktionsschar Nr. 2
  • Gebrochenrationale Funktionsschar Nr. 3 Parameter im Zähler

Und zum Schluss, wenn man die gebrochenrationalen Funktionen „vorwärts“ beherrscht, kann man das ganze bei einer Funktionssythese rückwärts anwenden:

  • Funktionssynthese gebrochenrationale Funktion
  • Funktionssynthese gebrochenrationale Funktion Struktur (ax²+bx+c)/x

Die Quotientenregel in Kombination mit der Summenregel

Ableitung_Quotientenregel_Summenregel_Beispiel

 

Aus dem Video Quotientenregel

Es werden in diesem Video nicht alle Fälle, sondern nur die Regel an sich abgedeckt.

Die Quotientenregel wird immer dann angewendet, wenn wir eine zusammengesetzte Funktion haben, die aus zwei Funktionen besteht, die durch einen Bruchstrich getrennt sind wie

u(x)/v(x)

Auch Funktionen wie

Ableitung_Kuerzen_statt_Quotientenregel

 

können als Quotientenregel berechnet werden. Hier können wir aber das x kürzen und wird dadurch x/3, welches dasselbe ist wie 1/3 x. Mit der Ableitungsregel für Brüche hätten wir hier einen „unglaublich“ langen Term erhalten.

Zum Merken:

die obere Hälfte der Gleichung ist die Produktregel nur mit Minus (wenn man sich die schon gemerkt hat).

Ansonsten kann man es sich auch abkürzen, wenn man es sich jetzt schon merkt, dass es natürlich Funktionen mit x sein müssen. Alles, was wir nicht umschreiben können, um so eine einfachere Regel benutzen können, funktioniert so:

(uv)’=u’*v–u*v’v²

Erst Zähler ableiten mal Nenner hinschreiben minus Zähler hinschreiben mal Nenner ableiten geteilt durch Nenner quadrieren.

Bei der folgenden Funktion ist es wichtig, dass wir nicht kürzen können.

Ableitung_Quotientenregel_Beispiel

 

f(x)=sinx/(0,5x²)

(Die Ableitung von Sinus x ist Kosinus x)

Die abgeleitete Funktion sieht wie folgt aus:

f'(x)=(cosx*12x²-sinx*x)/(0,5x²)²

Da dies hier nur zeigen soll, wie die Quotientenregel funktioniert, hören wir an diesem Punkt auf.