Rotationsenergie

Herleitung der Rotationsenergie

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Vorstellung und Berechnung der Rotationsenergie

Rotationsenergie ist eine Form der kinetischen Energie und kann dementsprechend über die Formel der kinetischen Energie hergeleitet werden. Wie genau erfahrt ihr hier:

Die Rotationsenergie (E(rot)) ist die Energie, die ein Körper besitzt, wenn er um eine Achse rotiert. Da die Rotationsenergie lediglich eine andere Form der Bewegungsenergie (E(kin)) ist, ähnelt die Berechnungsformel der der kinetischen Energie. Die folgenden Schritte erläutern, wie sich die Formel für die Rotationsenergie aus der Formel der kinetischen Energie herleiten lässt.

Die Formel für E(rot) lautet wie folgt: 1/2 * J * w²

, wobei J dem Trägheitsmoment und w der Winkelgeschwindigkeit entspricht.

Das Trägheitsmoment J ist definiert als Masse (m) mal Abstand zwischen Mittelpunkt und Rotationskörper (r²): J = m * r²

Die Winkelgeschwindigkeit w berechnet sich aus 2? geteilt durch die Zeit, die der Rotationskörper braucht, um einmal den Kreis komplett zu durchlaufen (Periodendauer): w = 2?/T.

Genauer betrachtet handelt es sich bei der Berechnung der Rotationsenergie um die Berechnung der Bewegungsenergie eines Körpers bei einer Kreisbewegung. Die Geschwindigkeit v bei der kinetischen Energie ist definiert als Strecke geteilt durch Zeit: v = s/t. Bei einer Kreisbewegung entspricht die Strecke s dem Umfang des Kreises, also 2? * r. Die Zeit bei einer Kreisbewegung entspricht der Zeit, die der Körper braucht, um einmal den kompletten Umfang des Kreises zu durchlaufen (Periodendauer). Wie auch schon bei der Formel für die Winkelgeschwindigkeit w wird diese Periodendauer angegeben mit groß T.

Nun ergibt sich bereits eine Ähnlichkeit der Formel für die Geschwindigkeit bei einer Kreisbewegung (v = 2?*r/T) und der Winkelgeschwindigkeit (w = 2?/T). Formt man die Formel für die Geschwindigkeit um, indem man das r aus dem Zähler nimmt und hinter den Bruch schreibt, entspricht der Term 2?/T der Formel für die Winkelgeschwindigkeit. Schreibt man dafür also w, ergibt sich die nun vereinfachte Formel: v = w * r. Die Geschwindigkeit bei der Berechnung der Bewegungsenergie einer Kreisbewegung ist also Winkelgeschwindigkeit mal Radius des Kreises.

Diesen Term kann man nun in die Formel für die kinetische Energie einsetzen: E(kin) = 1/2 * m * (w * r)². Unter Anwendung der Potenzgesetze lässt sich diese Formel umformen in: E(kin) = 1/2 * m * w² * r². Mittels weiterer Umformung (Vertauschung von r² und w²) wird schließlich die folgende Formel erreicht: E(kin) = 1/2 * m * r² * w².

Hier sieht man bereits, dass der Term m * r² der Formel für das Trägheitsmoment entspricht. Schreibt man nun also für m * r² das Formelzeichen des Trägheitsmomentes (J), hat man erfolgreich die Formel der Rotationsenergie aus der Formel der Bewegungsenergie hergeleitet: E(rot) = 1/2 * J * w².