Stochastische Unabhängigkeit

Stochastisch unabhängig

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Unabhängige Ereignisse stochastische Unabhängigkeit mit Baum und inversem Baum

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Stochastische Unabhängigkeit 1 Vierfeldtafel

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Stochastische Unabhängigkeit 2 Vierfeldtafel allgemein

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Unter dem ersten Video findest Du einen coolen Merktipp von Colin 😉 Zuerst zur Prüfung auf stochastische Unabhängigkeit mit den Berechnung an der Vierfeldtafel .

Aus dem Video Stochastische Unabhängigkeit

Erläutert werden sollen die Begriffe „Unabhängige Ereignisse“,
„Stochastische (Un)Abhängigkeit“ und deren Darstellung mit Hilfe der
Vierfeldtafel an einem konkreten Beispiel.

Wir betrachten 2 verschiedene Merkmale mit jeweils zwei Ausprägungen.
Das erste Merkmal ist die Affinität zur Mathematik. M ist die Menge der
Menschen, die Mathematik mögen, M‘ ist die Menge der Menschen, die
Mathematik nicht mögen. Analog dazu ist das zweite Merkmal die Affinität
zur Physik.

Aus Umfragewerten erhält man die eingetragenen Daten, dabei ist
P(M)=0,7 die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Mathematik mag,
P(P)=0.6 die Wahrscheinlichkeit, dass man Physik mag und
P(P?M)=0,45 die Wahrscheinlichkeit, dass man beide Fächer gleichzeitig mag.

Aufgrund dieser Überlegungen kann man die stochastische Abhängigkeit
oder Unabhängigkeit von zwei verschiedenen Ereignissen ermitteln.
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig voneinander, wenn die
Wahrscheinlichkeit ihres Eintreffens unabhängig vom Vorliegen des
anderen Ereignisses ist, oder als Formel in unserem Beispiel ausgedrückt
Pm(P)=P(P), wobei Pm(P) die bedingte Wahrscheinlichkeit darstellt, das
jemand Physik mag unter der Voraussetzung, er mag auch Mathematik,
Ob man Mathematik mag ist unabhängig von der Tatsache, dass man Physik mag. Ist dies tatsächlich ein unabhängiges Ereignis?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pm(P) kann man berechnen aus der Formel
Pm(P)=P(M?P)/P(M)= 0,45/0,7=0,64.

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nur Physik mag, ist aber laut unserer Vierfeldtafel P(P)=0,6.
=> 0,64= Pm(P)?P(P)=0,6
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Physik mag ist höher
unter der Voraussetzung, daß er Mathematik ebenfalls mag. Die beiden
Ereignisse sind also nicht unabhängig voneinander, sondern stochastisch
abhängig.

Dieselbe Fragestellung kann man betrachten für die Affinität zur
Mathematik. Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Mathematik mag ist laut
Vierfeldtafel 0,7. Unter der Voraussetzung, er mag Physik ist die
Wahrscheinlichkeit aber
Pp(M)=P(P?M)/P(P)=045/0,6=0,75.
Somit sind auch diese beiden Ereignisse unabhängig voneinander.

Und ein kleiner Merktipp zum ersten Video: pro Ergebnis kommt immer
nur ein “un-” vor. -> die 2 Eigenschaften sind UNabhängig, wenn die
Ergebnisse gleich sind. -> die 2 Eigenschaften sind abhängig, wenn
die Ergebnisse UNgleich sind. Stochastische Unabhängigkeit und
unabhängige Ereignisse an Hand einer allgemeinen Vierfeldtafel:
Dazu ein Merktipp von Malte: „habe ich z.b. P a (B) gegeben, weiß ich
direkt dass hinter dem Gleichheitszeichen P ( A geschnitten B ) / P (A)
heißen muss. Zähler: P ( beide Buchstaben vor dem = geschnitten )
Nenner: P ( Buchstabe der klein hinter P steht) schwer zu erklären,
leicht zu merken “

Ein Video zum allgemein geschriebenen Zusammenhang zwischen
Vierfeldertafel oder Vierfeldtafel und Baumdiagramm und umgekehrtem
Baumdiagramm:

Prüfung auf stochastische Unabhängigkeit mit Baumdiagramm und inversem Baumdiagramm:

Ein Beispiel mit dem Ergebnis „stochastisch unabhängige Ereignisse“:

Da es einige Nachfragen bezüglich der Zufallsvariable
gab, hier auch noch mal der Link dorthin.