Vollständige Induktion

Vollständige Induktion 1

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Vollständige Induktion Summe natürliche Zahlen

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Vollständige Induktion ungerade Zahlen Quadratzahlen

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Vollständige Induktion erste n Kubikzahlen

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Vollständige Induktion Potenzreihe natürliche Exponenten

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Was ist die vollständige Induktion?

Die vollständige Induktion: Induktionsanfang Induktionsvoraussetzung und Induktionsschluss sind immer am Start, trotzdem gleichen sich die Lösungswege nur im Prinzip.

Hier werden die geraden Zahlen zusammengefasst und bewiesen:

  • Vollständige Induktion erste n Kubikzahlen
  • Hier werden die ungeraden Zahlen zusammengefasst und bewiesen
  • Und hier die vollständige Induktion der Potenzreihe 1+q+q^2+…+q^(n-1)+q^n

Wir wollen uns mit der vollständigen Induktion beschäftigen.

„Beweisen lernt man nur durch beweisen“. Vollständige Induktion bedeutet, dass es immer einen Dreischritt gibt:

  1. Induktionsanfang
  2. Induktionsvoraussetzung
  3. Induktionsschluss

Vollständige Induktion Summe natürliche Zahlen

Der neunjährige Carl Friedrich Gauß hat, wie in zahllosen Büchern zu Mathematik in der Schule geschrieben steht, erkannt und bewiesen, dass gilt:

die Summe der ersten n natürlichen Zahlen lässt sich mit der Formel: 0,5*n*(n+1) berechnen.

Deshalb ist es jedes Jahr in vielen Klassen in Mathematik eine beliebte Aufgabe, auf den Spuren des kleinen Gauß den Beweis erneut zu führen, dass die Formel gilt.

Dazu bedient man sich der Technik der vollständigen Induktion.

Als erstes schreibt man dazu natürlich die Induktionsvoraussetzung auf.

Bild Induktionsvoraussetzung

Alsdann macht man sich daran, mit der vollständigen Induktion zu beginnen, was mancher Induktionsanfang nimmt.

Setzt man in die Summenformel n=1 ein, so ergibt sich tatsächlich der gewünschte Wert 1.

Im Induktionsschluss verändern wir, wie immer, die zu beweisende Formel, beziehungsweise die Induktionsvoraussetzung so, dass auf der linken Seite einmal der Term n+1 angefügt wird und auf der rechten Seite an der Stelle der Variable n immer der Ausdruck oder der Term (n+1) eingesetzt wird.

Nun kann man sich im Video zur vollständigen Induktion der Summe der natürlichen Zahlen die einzelnen Schritte und Tricks und Tipps zur Umformung anschauen, bis zum berühmten Schluss: quod erat demonstrandum, was zu beweisen war.

 

Beispiel: 2+4+6+8+…+2m=m* (m+1)

m ist hier die Variabel.

Zum Induktionsanfang:

Man muss eine Sache haben, an der man einfach zeigen kann, dass es funktioniert.

Deshalb: m = 1 : 2=1 (1+1)

2=2

Der Induktionsanfang gestaltet sich immer gleich.

Wir haben hier eine Folge von Zahlen, die zusammen addiert wird.

Die Variabel m ist das erste Folgenglied.

Beim ersten Folgenglied kommt eine 2 raus.

Dann müssen wir zeigen, dass für das Folgenglied die Gleichung m (m+1) funktioniert.

Bedeutet, wir setzten für das m die 1 ein.

Also: 2= 1 (1+1)

–> 2= 1 2 –> 2=2.

Man nimmt gerne die 1 dafür.

Wir gehen sachlich daran: Wir sagen, dass das erste Glied der Beispielgleichung in der Gleichung mit der Variablen m erfüllt sein muss.

Die Bedingung dafür ist, dass wir eine 1 einsetzen.

Genauso, wie das erste und das zweite Glied (2 und 4) addiert 6 ergeben.

Induktionsvoraussetzung:

Also: 6= 1 (2+1)

–> 6= 2 3 –> 6= 6

Festzuhalten ist, dass beim Induktionsanfang immer eine wahre und sinnvolle Aussage (2=2; 6=6) entstehen muss.

Induktionsvoraussetzung:

Die Beispielgleichung einfach nochmal hinschreiben.

Die Voraussetzung ist das, was gegeben wird und es zu beweisen gilt.

Induktionsschluss:

Der Induktionsschluss ist eigentlich die Induktionsvoraussetzung.

2+4+6+8…+2m

Das letzte Glied + 2 (m+1) kommt dazu.

m wird um 1 erweitert und die 2 bleibt stehen.

–> 2+4+6+8+…+2m+2 (m+1) Wir erweitern den Teil, der nach dem = auftaucht, ebenfalls um 1.

Klammern müssen wegen des Bezugs gesetzt werden!

–> 2+4+6+8+…+2m+2 (m+1)= (m+1)(m+2) <–Der Induktionsschluss den es zu beweisen gilt. Alternative Schreibweise: k(m)+2 (m+1)= m (m+1)+2 (m+1).

k(m) steht für den linken Teil der Beispielgleichung.

Jetzt müssen wir zeigen, dass = (m+1)(m+2) und = m(m+1)+2 (m+1) gleich sind, bzw. dass man von der zweiten auf die erste kommt.

Nun m(m+1)+2 (m+1) ausrechnen.

Ergibt: m²+m+2m+2, zusammengefasst: m²+3m+2.

Wir haben m(m+1)+2 (m+1) ausgerechnet.

Wir müssen beweisen, dass man davon auf (m+1)(m+2) schließen kann.

Das machen wir, indem wir einfach durch eine der Klammern aus (m+1)(m+2) teilen.

Also: m²+3m+2 :(m+1) = m+2

Da die zweite Klammer der Gleichung das Ergebnis ist, darf ich schreiben, dass es das Produkt der Linearfaktoren ist.

Es gilt als bewiesen und wir sind fertig.

Und wer bis hier gekommen ist, findet auch noch das Mathe-Video zum Beweis der Gaußschen Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen: