Zylinder berechnen
Zylinder Formeln
Formel umstellen Oberfläche Zylinder
Oberfläche Zylinder Verhältnis Radius zu Höhe
Rechteck Zylinder Klebekante MSA
Zylinder Radius und Höhe aus Mantel und Volumen
Oberfläche Zylinder
Formel umstellen Oberfläche Zylinder
Oberfläche Zylinder Verhältnis Radius zu Höhe
Zylinder Radius und Höhe aus Mantel und Volumen
Extremwertaufgabe Zylinder minimale Oberfläche
Rechteck Zylinder Klebekante MSA
Zylinder Radius und Höhe aus Mantel und Volumen
Länge Schraubenlinie
Länge Schraubenlinie
Volumen Rohr
6.7 Körper: Volumenberechnung eines allgemeinen Körpers, Beispielaufgabe: Volumen eines Rohres
Formeln Zylinder
Von einem Zylinder sind die Mantelfläche und das Volumen bekannt und es sollen der zu diesen Maßen gehörende Radius und die Höhe berechnet werden. Dazu werden die beiden Gleichungen aus der Formelsammlung raus geschrieben (nicht geschrien ;)) und dann braucht’s ein Gleichungssystem…:
Videos zum Zylinder
- Formel umstellen Oberfläche Zylinder
- Oberfläche Zylinder Verhältnis Radius zu Höhe
- Zylinder Mantel und Oberfläche zu Radius Höhe und Volumen
- Extremwertaufgabe Zylinder minimale Oberfläche
- Rechteck Zylinder Klebekante MSA
- Zylinder Radius und Höhe aus Mantel und Volumen
Aus dem Video: Zylinder berechnen
Aufgabenstellung:
Bekannt sind die Mantelfläche (M) und das Volumen (V) eines Zylinders. Nun soll der Radius (r) und die Höhe (h) berechnet werden.
Also:
- M = 254 m2
- V = 412 m3
- r = ?
- h = ?
Führen wir uns nochmals vor Augen, was ein Zylinder eigentlich ist. Es ist eine geometrische Figur mit drei Flächen. Die zwei runden Flächen (mit dem Radius r) stehen parallel zueinander und sind immer gleich groß. Sie werden auch Grund- und Deckfläche genannt. Der Abstand dieser beiden Flächen bezeichnete die Höhe (h) des Zylinders. Die Fläche, die den Zylinder umrundet, ist die Mantelfläche (M).
Die Mantelfläche ist gleich Umfang (U) der kreisförmigen Grund- oder Deckfläche mal der Höhe (h) des Zylinders: M = U * h
Und der Umfang eines Kreises ist ja: U(Kreis) = 2 * p * r
Daraus folgt:
M = U * h
M = 2 * p * r * h
Das Volumen ist gleich Grundfläche (A) mal Höhe. Und die Grundfläche ist beim Zylinder ein Kreis, also: A = p * r2
V = A(Kreis) * h
V = p * r2 * h
Nun setzten wir die Zahlen der Aufgabenstellung ein:
Volumen: 412 m3 = p * r2 * h
Mantelfläche: 254 m2 = 2 * p * r * h
Wie haben jetzt also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (r und h). Das ist nun ein Fall für ein lineares Gleichungssystem und dem dazugehörenden Lösungsverfahren.
Gleichung: 412 m3 = p * r2 * h
Gleichung: 254 m2 = 2 * p * r * h
Man könnte nun eine Gleichung nach h auflösen und das Ergebnis in die andere Gleichung einsetzten, aber hier kommt eine Besonderheit ins Spiel: Wenn in den Gleichungen nur Multiplikationsaufgaben stehen, denn ist es gewinnbringend, wenn man die Gleichungen durcheinender teilt.
412 m3 / 254 m2 = 412 m / 254
412 m / 254 = 1 / 2 * r = r / 2
Jetzt kann man nach r auflösen indem man die Gleichung mit 2 multipliziert:
2 * 412 m / 254 = r ~ 3,24 (gerundetes Resultat)
Jetzt fehlt noch die Höhe. Zur Berechnung kann nun der berechnete Radius in eine der beiden Gleichungen (es ist egal in welche) eingesetzt werden:
254 m2 = 2 * p * 3,24 * h
h = 12,46
Das Ergebnis ist also:
r = 3,24
h = 12,46
Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?
Die Formelsammlung in Mathematik hält auch für die Oberfläche eines Zylinders eine Formel bereit. Diese lautet:
Bild Formel Oberfläche Zylinder Mathematik
Wenn man Radius und Höhe des Körpers kennt, kann man diese einsetzen und die Oberfläche ausrechnen.
Manchmal ist in einer Aufgabe aber nur der Durchmesser bekannt, dann muss man zusätzlich noch den Durchmesser halbieren, denn der halbe Durchmesser ist gleich dem Radius.
Erklärung der Formel für die Zylinderoberfläche
Wenn man sich einen Zylinder anguckt, so erkennt man drei Flächen:
- Kreis am Boden des Zylinders
- Kreisfläche Deckel
- Mantelfläche Zylinder
Der zweite Teil der Formel die Oberfläche des Zylinders sind die zwei Flächen der Kreise.
Der erste Teil der Oberflächenformel setzt sich zusammen aus dem Umfang eines Kreises, der mit der Höhe des Zylinders multipliziert wird.
Aufgabenstellungen Oberfläche Zylinder
In den Videos dieser Seite findest du Aufgabenstellungen wie:
Stelle die Formel für die Oberfläche eines Zylinders nach einer bestimmten Variable, zum Beispiel der Höhe um.
Von einem Zylinder ist bekannt: die Oberfläche und das Verhältnis von Radius zu Höhe. Berechne die fehlenden Größen.
Gegebene Größen für einen Zylinder: Mantelfläche und Oberfläche. Nun sollen Radius Höhe und Volumen des Zylinders berechnet werden.
Wie berechnet man die Länge einer Schraubenlinie?
Die Länge einer Schraubenlinie zu berechnen ist schon deshalb schwierig, wenn man sich das vorstellen will (zumindest, wenn man 3D-Vorstellung schwierig findet). In dem Mathevideo wird erst die Länge Schraubenlinie berechnet, wenn sie sich bei einer gegebener Höhe des Zylinders, einmal um den Zylinder dreht. Danach geht es um zwei und um drei Umdrehungen und schließlich allgemein um n-Wicklungen (Drehungen): Hinweis: Die Formel für die Länge der Schraubenlinie hat natürlich mit dem Durchmesser nicht direkt was zu tun, das d bei 8:38 min muss ein U für Umfang sein! Vielen Dank an Leenny! Also die richtige Formel lautet: s_n=n*Wurzel((h/n)²+U²) Und noch ein kleiner Verrechner, den Mike entdeckt hat: Bei 3:52 behaupte ich, die Hälfte von 21 wären 11,5 – natürlich sind es 10,5 – vielen Dank an Mike, dem das aufgefallen ist!
Aus dem Video Länge einer Schraubenlinie
Als erstes macht es Sinn, sich vorzustellen, was denn überhaupt eine Schraubenlinie ist. Dazu kannst du in dem Video sehen, dass eine Schraube im Modell nichts anderes ist als ein Zylinder. Und um diesen Zylinder findet sich die Schraubenlinie.
Da es für viele kompliziert wird, wenn es darum geht, sich eine solche Linie räumlich vorzustellen: nimm dir ein Blatt Papier und roll es zu einem Zylinder zusammen. Dann skizzieren dir die Schraubenlinie auf diesen Zylinder und Falte das Blatt wieder auf. Dann siehst du, dass die Schraubenlinie genau der Diagonale der Mantelfläche (Rechteck) folgt.
Weitere Aufgaben, in denen der Zylinder mit seinem Formeln eine Rolle spielt
In einigen Videos zu Extremwertaufgaben kommen Zylinder vor. Zum Beispiel soll etwas, das in einem gegebenen Zylinder steht, ein maximales Volumen haben. Oder man sucht eine Höhe, bei der bei gegebenem Radius die Oberfläche besonders klein wird.
